Aplicaciones Integrales














Erick Ricardo Terrazas Baeza
Facilitador: Ing. RocioTalina Vázquez
Mantenimiento a Maquinaria Pesada
10/04/15
Cálculo
Aplicaciones de las Integrales






‰ El método de Exhaución.
El método de exhaución fue ideado por el matemático griego Arquímedes para determinar el
área de un recinto. Este método consiste en inscribir y circunscribir el recinto considerado en
regionespoligonales cada vez más próximas a él, tendiendo a llenarlo y cuyas áreas se
pueden calcular fácilmente. Así se obtienen valores mayores y menores que el área que
deseamos calcular y que se aproximan, tanto más a dicho valor, cuanto mayor sea el número de lados de regiones poligonales inscritas y circunscritas.
Según el método de exhaución, para aproximar el área encerrada entre la función, el ejeOX, y las rectas x = 0, x = 2, tomamos poligonales que inscriban y circunscriban dicho recinto. En este caso dichas poligonales son rectángulos y es evidente que el área se conocerá con mayor exactitud cuanto menor sea la base de los rectángulos tomados.
Consideremos primero rectángulos inscritos en el recinto. En este caso la suma de las áreas
de los rectángulos es menor que el área del recinto,pero se van aproximando más a su valor según vayamos tomando rectángulos de menor base, como podemos ver en las
aproximaciones de los dibujos. Si consideramos ahora rectángulos que circunscriban al recinto, es evidente que la suma de
las áreas de dichos rectángulos es mayor que el área que encierra la función, pero a medida
que vamos tomando rectángulos cuyas bases sean menores, nuestraaproximación será más
exacta.

‰ Integral de una función escalonada. Propiedades.
Nos parece interesante, antes de definir la integral de una función cualquiera, estudiar la
integral de funciones escalonadas, por dos razones: primera, y siguiendo nuestro principio de dar los conceptos de forma gradual según su nivel de dificultad, que son más intuitivas y
fáciles, y todas las propiedades de estasintegrales son las mismas que las de las integrales
de funciones generales; y segunda, porque la definición que daremos de integral de una
función general, será a partir de estas funciones. Las funciones escalonadas hacen de nexo
entre el método de exhaución y las integrales definidas de cualquier función.
Ejemplo: Dada la función del dibujo, calcular a mano el área que delimitan f(x), lasrectas
x = 0, x = 5 y el eje OX.



‰ Integral de Riemann.
Vamos a definir la integral de una función cualquiera, f(x), en un intervalo [a, b], con la única
condición de que esté acotada. Se toman todas las funciones escalonadas g(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas h(x) por exceso, es decir, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) cuando x ∈ [a, b].
En estas condiciones, si existe un único número I quecumpla ∫ ∫ ≤ ≤baba g(x)dx l h(x)dx , a
este número l se le llama integral de f(x) entre a y b.
Se representa: ∫ = b
a l f (x)dx y se lee “integral desde a hasta b, de f(x), diferencial de x”.
Teorema:
Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.
Teorema Fundamental del Cálculo
Si f(x) es integrable en el intervalo [a, b], su función área, A(t), se define de lasiguiente
forma: ∫ = t
a A(t) f (x)dx ∀t ∈[ ] a,b . En estas condiciones, si f es continua en [a, b], la
función A es una primitiva de la función f en [a, b].

Regla de Barrow:
Si f(x) es una función continua en [a, b], y F(x) una primitiva de f(x), es decir, F '(x) = f(x) para
cualquier x ∈ (a, b), entonces:
La importancia de la regla de Barrow es doble: Por una parte, es un método de cálculo deintegrales definidas que no exige hallar funciones escalonadas; por otro lado, representa una
conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Área del recinto limitado por una función positiva en [a,b]
Sabemos que la integral de una función escalonada entre x = a y x = b coincide con el
área encerrada por dicha función, el eje y = 0, y las rectas x = a y x = b. Veamos que
esta...