Aplicaciones

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Tema:
APLICACIONES DE ALGEBRA LINEAL


Materia:
ALGEBRA LINEAL


Dirigido por:
MEDINA PIÑA FRANCISCO HASSEL


Nombre de la escuela:
UNIVERSIDAD POLITECNICA DE JUVENTINO ROSAS
(UPJ)


Grado y grupo:
1-B


Carrera:
ING. METALURGICA







Portada……………………………………………………………………1
Índice……………………………………………………………………...2
Justificación……………………………………………………………..3Introducción……………………………………………………………..4
Objetivos…………………………………………………………………5
Desarrollo………………………………………………………………..6
Resultado………………………………………………………………...7
Conclusiones……………………………………………………………8
Bibliografia……………………………………………………………10



































INTRODUCCIÓN: APLICACIONES DE ALGEBRA LINEAL ENTRE CONJUNTOS.
Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una regla que permiteasignar a cada elemento de A, uno de B.
La aplicación f del conjunto A en el conjunto B se indica mediante f: AB o bien AB. →f→
El conjunto A se llama conjunto inicial, y el B conjunto final.
Si la aplicación f asigna al elemento a∈A el elemento b∈B, diremos que b es la imagen de a, lo que se denota por f(a) = b.
La regla ha de estar inequívocamente definida, de modo que para todos y cadauno de los elementos de A, esté claro qué elemento de B es su imagen.

Clasificación de las aplicaciones:

Se dice que una aplicación es inyectiva si no hay dos elementos que tengan imágenes iguales. Una aplicación inyectiva “crea una copia” de A dentro de B.

Se dice que una aplicación es suprayectiva (o sobreyectiva) si todos los elementos del conjunto final B han sido utilizados.
•Se dice que una aplicación es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva. Una aplicación biyectiva establece una “igualdad” entre los conjuntos A y B, pues a cada elemento de A le corresponde uno de B, y a cada elemento de B, exactamente uno de A.
Si f es biyectiva existe su inversa, denotada f –1: AB , que “deshace” lo hecho por f. →

Ejemplos:

1. La aplicación del conjunto de lapoblación española mayor de edad en el conjunto de los números naturales, que asigna a cada ciudadano su número de DNI.
Es inyectiva, pues no hay dos personas con el mismo DNI. No es suprayectiva, pues no todos los números se utilizan.
2. La aplicación del conjunto de los números reales en el conjunto de los reales positivos, que asigna a cada número su cuadrado: 2xx+ℜ→ℜ��
No es inyectiva, pueshay números con el mismo cuadrado (p.ej. 2 y –2). Es suprayectiva, pues todos los reales positivos son el cuadrado de algún número.
En este capítulo definiremos aplicaciones entre espacios vectoriales.
1

Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Aplicaciones Lineales



APLICACIONES LINEALES. PROPIEDADES
Definición: Aplicación lineal
Dados dos espacios vectoriales V y W, y dada una aplicación f:VW, diremos que f es lineal si conserva las combinaciones lineales, es decir: dada una combinación lineal entre vectores de V, sus imágenes en W verifican la misma combinación: →
si u = α v+ w (en V) entonces u’ = α v’ + w’ (en W) ββ
donde u’, v’, w’ son respectivamente las imágenes de u, v, w.
Esto se puede expresar también así:
(1) f(αv+ w) = α f(v) + f(w) para v, w∈V ββ
(“La imagen de unacombinación lineal, es la combinación lineal de las imágenes”. )
También es equivalente a afirmar que se conserva la suma y el producto por escalares:
(2) (2a) f(v+ w) = f(v) + f(w) para v, w∈V
(2b) f(αv) = α f(v) para v∈V, α escalar.
Por tanto, a la hora de probar si una aplicación es lineal, podemos utilizar indistintamente (1) o (2).

Las aplicaciones lineales también se pueden llamarhomomorfismos.

Pueden también definirse aplicaciones en subespacios vectoriales, pues éstos funcionan como espacios vectoriales. Por ejemplo,
S={(α, 2α) : α ∈} es un subespacio de ℜy en él podemos definir la aplicación lineal ℜ2
3S(,2)(3,4,5)fααααα→ℜ��

Ejemplos.
1. Consideremos la siguiente aplicación de en y veamos si es lineal: 3ℜ2ℜ
32(x,y,z)(2x,z)fℜ→ℜ��
Vamos a...
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