Aplicacionesa De La Derivada

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Aplicaciones de la derivada
En esta sección vamos a dedicarnos a calcular los máximos y mínimos de funciones con diferentes
propósitos.
En muchas situaciones de la vida real se requiere de la optimización de una cantidad. Otras veces,
la naturaleza opera de manera que minimiza algo, por ejemplo, la electricidad siempre pasa a
través del medio que ofrece mínimaresistencia, la luz, al pasar de un medio a otro, siempre sigue
una trayectoria que hace mínimo el tiempo de trayecto de un punto a otro, etc.
En este tipo de problemas siempre es recomendable primero identificar la variable que se desea minimizar (o maximizar), luego hacer un modelo matemático del problema relacionando las
variables que están involucradas en el problema. Después optimizar(minimizar o maximizar) la
cantidad que deseamos.

Problemas prácticos de máximos y mínimos
Encuentra dos números que su suma sea 10 y su producto sea máximo.

Ejemplo 1

• Sean x e y los dos números buscados.
• Dado que su suma es 10, se cumple: x + y = 10.
• De esta ecuación podemos despejar y y obtener: y = 10 − x.
• En palabras esto nos dice que si un número es x el otro debe ser 10 −x.
• Eso es obvio, pues los dos números suman 10.
• Queremos que el producto p = x · y sea máximo. Entonces,
p = x · y = x · (10 − x ) = 10 x − x2
• Para maximizar la función derivamos, igualamos a cero y resolvemos para x:
dp
= 10 − 2 x
dx

⇒

x=5

• Si la suma de dos números es diez y uno de ellos es 5, pues el otro también debe ser cinco.
• Verifica este resultado calculando losproductos de los números enteros positivos que sumados dan diez.

Un granjero tiene 250 metros de malla para cercar un corral para caballos. Él desea que el corral
sea rectangular y que tenga la mayor superficie posible. ¿Cuáles son las dimensiones de ese
corral?
• Empezamos haciendo un dibujo para ilustrar la situación:

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Ejemplo 2

Profr. Efraín SotoApolinar.

y

A = x·y

x
• Ya sabemos que tiene 250 metros de malla.
• Entonces, el perímetro del corral será esa distancia.
• Matemáticamente y de acuerdo a la figura tenemos:

⇒

2 x + 2 y = 250

x + y = 125

• De esta ecuación podemos despejar y y obtener:
y = 125 − x
• Esto nos permite reescribir el área del corral como:
A = x · y = x · (125 − x ) = 125 x − x2
• Nosotrosqueremos maximizar el área del corral, así que:
dA
= 125 − 2 x = 0
dx

⇒

x=

125
= 62.5 metros.
2

• La base del rectángulo, es decir, el largo del corral será de 62.5 metros.
• La altura del rectángulo, es decir, el ancho del corral será de:
y = 125 − x = 125 − 62.5 = 62.5 metros.
• En otras palabras, el corral que tiene la mayor superficie es un cuadrado donde cada lado
mide 62.5metros.
• El perímetro del corral es: (4)(62.5) = 250 metros.
• El área del corral es: (62.5)(62.5) = 3906.25 metros cuadrados.

Ejemplo 3

Considerando el problema del ejemplo anterior, ahora el granjero decide colocar el corral de
manera que una pared que tiene de un granero sirva como una de las paredes para aumentar
el área para los caballos en el corral. ¿Qué dimensiones tendrá ahorael corral?

• Ahora tenemos la siguiente situación geométrica:

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Profr. Efraín Soto Apolinar.

Pared

y

y

A = x·y

x
• Ahora los 250 metros de malla que tiene para cercar tendrán que cubrir los 3 lados indicados
en la figura.
• Entonces, la ecuación del perímetro será ahora:
x + 2 y = 250

y = 125 −

⇒

x
2

= 125 x −

x2
2• Y la fórmula para el área del corral será:
A = x · y = x · 125 −

x
2

• Para calcular el máximo de esta función, derivamos e igualamos a cero:
dA
= 125 − x = 0
dx

⇒

x = 125 metros.

• Ahora podemos calcular el valor de y:
y = 125 −

125
x
= 125 −
= 62.5 metros.
2
2

• Y el área del nuevo corral será:
A = x · y = (125)(62.5) = 7 812.5 metros cuadrados.
• Con lo...