Derivadas

TABLA DE DERIVADAS.
1. Función constante
Si f(x) = c C R es f´(x) = 0

Demostración:
Paso 1: f(x + h) = c
Paso 2: f(x) = c
Paso 3: f(x + h) - f(x) = c - c = 0
Paso 4: [f(x + h) - f(x)]/h =0
Tomando el límite cuando h -->0 obtenemos:
f´(x) = 0

2. Función identidad
Si f(x) = x es f´(x) = 1

Demostración:
Paso 1: f(x + h) = x + h
Paso 2: f(x) = x
Paso 3: f(x + h) - f(x) = x+ h - x = h
Paso 4: [f(x + h) - f(x)]/h = h/h = 1
Tomando el límite cuando h -->0 obtenemos:
f´(x) = 1

3. Función logarítmica
Si f(x) = ln(x) es f´(x) = 1/x

Demostración:

NOTA
Estaderivada es muy importante, ya que, junto con la regla de la cadena, nos va a simplificar el cálculo de la mayoría de las derivadas.
4. Derivada de una potencia
Si f(x) = x a, con a C R, es f´(x)= a · x a-1
Para demostrar esta propiedad vamos a utilizar un método llamado derivación logarítmica.
El método se suele usar para calcular la derivada de una función en la que la variable aparece enel exponente. Tomando logaritmos, el exponente pasa multiplicando al logaritmo de la base, y sólo hay que derivar un producto.

Demostración:
f(x) = x a
ln(f(x)) = ln[x a] = a · ln(x). Derivandoen ambos mienbros:
[ln(f(x))]´ = [a · x]´, y teniendo en cuenta la regla de la cadena:
f´(x)/f(x) = a/x. Despejando:
f´(x) = [a · f(x)]/x = [a · x a]/x = a · x a - 1

5. Función exponencialSi f(x) = e x es f´(x) = e x

Demostración:
Vamos a calcular esta derivada por derivación logarítmica:
Llamamos y = e x
Tomamos logaritmos: ln(y) = ln[e x] = x · ln(e) = x
Ahora derivamos,teniendo en cuenta que y es una función de x, y por lo tanto hay que aplicar la regla de la cadena: y´ / y = 1
Despejando y sustituyendo: y´ = y = e x

6. Función exponencial de base a > 0
Si f(x) =a x es f´(x) = a x · ln(a)

Demostración:
Vamos a calcular esta derivada por derivación logarítmica:
Llamamos y = a x
Tomamos logaritmos: ln(y) = ln[a x] = x · ln(a)
Derivando: y´ / y = ln(a)...