Aplicación matematica

APLICACIONES DE LA DERIVADA
En la unidad anterior aprendimos a obtener las funciones derivadas (݂´ ‫ )´´݂ ݕ‬a partir
de la ecuación de ݂.
En esta unidad estudiaremos una aplicación muy importante que permite conocer
acerca del comportamiento de f, sabiendo los signos que asumen ݂´ ‫ ,´´݂ ݕ‬sin
necesidad de conocer su expresión algebraica.
Saber los signos de ࢌ´ y de ࢌ´´ supone conocer paraqué valores de x, que pertenezcan
al dominio de f, las funciones derivadas asumen valores mayores, menores o iguales a
cero.
Veremos que existe una relación entre el comportamiento creciente/decreciente, los
extremos, la concavidad y los puntos de inflexión de ݂ y los signos de sus derivadas.
Qué información brindan los signos de ݂´ y ݂´´?
SIGNO ࢌ ´
> 0
< 0
= 0
No existe

INFORMACIÓNࢌ crece
ࢌ decrece
Punto crítico 1º orden
Punto crítico 1º orden

SIGNO ࢌ´´
>0
0

݂ crece

PUNTO CRÍTICO 1º ORDEN

݂ ´ < 0

MAXIMO RELATIVO

݂ decrece

Si por el contrario el signo de ݂´ pasa de ser negativo (< 0) a ser positivo (> 0) el punto
crítico de 1º orden es un MÍNIMO RELATIVO.

1

Igual análisis se hace con los puntos críticos de 2ºorden para concluir si son PUNTOS
DE INFLEXIÓN
Para poder concluir si un punto crítico de 2º orden es un PUNTO DE INFLEXIÓN, se
debe cumplir que CAMBIE el signo de ݂´´ al pasar por el punto crítico

݂ ´´ = 0 ó no existe
݂ ´´ > 0

݂ ´ crece

PUNTO CRÍTICO 2º ORDEN

PUNTO DE INFLEXIÓN

݂ cóncava hacia arriba݂ ´´ < 0

݂ ´ decrece
݂ cóncava hacia abajo

Es decir que averiguando el signo que asumen las derivadas de una función, podemos
aproximar su comportamiento:
Saber si la función está creciendo o no, averiguando el signo de su derivada primera.
Si el ritmo al que está cambiando es creciente o no (o lo que es lo mismo si ݂ es
cóncava hacia arriba o hacia abajo), a través del signo de laderivada de ݂´ , o lo que es
lo mismo la derivada segunda de ݂.
Si presenta extremos o puntos de inflexión, analizando sus puntos críticos, etc.
Cómo podemos averiguar los signos de ݂´ o de ݂ ´´?
Puede suceder que contemos con la EXPRESIÓN ANALÍTICA de la función ó
Que conozcamos el comportamiento gráfico de ݂´ o de ݂´´
PROCEDIMIENTOS
SI DISPONEMOS DE LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA DE ݂
SIDISPONEMOS DEL COMPORTAMIENTO GRÁFICO DE ݂´ ó ݂´´

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¿Cómo podemos reconocer los signos de ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ y ݂´´ ሺ‫ݔ‬ሻ para analizar ݂ሺ‫ݔ‬ሻ?
A partir de la expresión algebraica

f ( x) = x 3 − 2 x 2 + x − 1
f ′ ( x) = 3x 2 − 4 x + 1
݂ ´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0 ↔ 3x ଶ െ 4‫ ݔ‬൅ 1 ൌ 0 ↔

ିሺିସሻേඥሺିସሻమ ିସ.ଷ.ଵ
ଶ.ଷ

ൌቊ

‫ݔ‬ଵ ൌ 1
ଵ

‫ݔ‬ଶ ൌ ଷ

ଵ

En ‫ ݔ‬ൌ 1 y en ‫ ݔ‬ൌ , la función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ presenta Puntoscríticos

Primer orden

ଷ

de

Valor prueba ݂´ሺ0ሻ ൌ 1

Valor prueba ݂´ሺ0,5ሻ ൌ െ1,25
Valor prueba ݂´ሺ2ሻ ൌ 5

݂´´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 6‫ ݔ‬െ 4 → ݂´´ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0 ↔ 6‫ ݔ‬െ 4 ൌ 0 ↔ ‫ ݔ‬ൌ
ଶ

ଶ

4 2
ൌ ≅ 0,66
6 3

݂´´ ቀଷቁ ൌ 0 → En ‫ ݔ‬ൌ ଷ , la función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ presenta un Punto crítico de Segundo

orden

Valor prueba ݂´´ሺ0ሻ ൌ െ4
Valor prueba ݂´´ሺ1ሻ ൌ 2

3

A partir de comportamientográfico

f ( x) = x 3 − 2 x 2 + x − 1
f ′ ( x) = 3x 2 − 4 x + 1

f ′′ ( x) = 6 x − 4

݂ ´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0 ↔ 3x ଶ െ 4‫ ݔ‬൅ 1 ൌ 0 ↔

En ‫ ݔ‬ൌ 1 y en ‫ ݔ‬ൌ

ଵ
ଷ

ିሺିସሻേඥሺିସሻమ ିସ.ଷ.ଵ
ଶ.ଷ

ൌቊ

, la función ݂ሺ‫ݔ‬ሻ

presenta Puntos críticos de Primer orden

‫ݔ‬ଵ ൌ 1
ଵ

‫ݔ‬ଶ ൌ ଷ

ଶ

݂´´ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 0 ↔ 6‫ ݔ‬െ 4 ൌ 0 ↔ ‫ ݔ‬ൌ ଷ

ଶ

݂´´ ቀଷቁ ൌ 0 → En ‫ ݔ‬ൌ

ଶ
ଷ

, la función ݂ሺ‫ݔ‬ሻpresenta un Punto crítico de Segundo orden

(− ∞, 1 3)

f ′ ( x) > 0

(− ∞, 2 3)

f ′′ ( x ) < 0

(1 3 , 1)

݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ൏ 0

(2 3 , + ∞ )

f ′′ ( x) > 0

(1, + ∞ )

f ′ ( x) > 0

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RESUMIENDO
݂´ሺ‫ݔ‬ሻ: PRIMERA DERIVADA

݂ሺ‫)ݔ‬

Tasa instantánea de cambio en
cambio en ‫ݔ‬

݂´´ሺ‫ݔ‬ሻ: SEGUNDA DERIVADA

݂ሺ‫ݔ‬ሻ respecto a un Tasa instantánea de cambio en ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ respecto...