Aproximacion de una integral con metodos numericos

Índice

* Introducción………………………………………………..………………………………..2

* Objetivos…………………………………………………………………………..….……….2

* Desarrollo del trabajo……………………………………………………………………3

* Resultados……………………………………………………….……………………………5

* Conclusiones……………………………………………..………………………………….6

* Bibliografía……………………………………….…………………………………….……6

* Anexos……………………………………….………………….……………………………..6Introducción

En el siguiente proyecto utilizamos métodos numéricos para aproximar el valor de una integral. El problema que se nos presenta es determinar la cantidad de petróleo bombeado de un oleoducto en un cierto tiempo. Un oleoducto es la tubería e instalaciones conexas utilizadas para el transporte de petróleo a grandes distancias.
De esta manera utilizando los valores que nos dan, nuestrameta es aproximar una integral que representa –como mencionado antes- el petróleo bombeado en un cierto tiempo. Para encontrar este resultado utilizaremos los métodos cerrados aprendidos en la clase.

Objetivos

* Comprender el uso de los métodos numéricos en aplicaciones de la vida real.
* Aprender como el uso de métodos numéricos nos puede ayudar en problemas que nos encontremos ennuestra vida profesional.

Desarrollo del Trabajo

La siguiente tabla representa el gasto instantáneo de petróleo crudo en un oleoducto (en miles de libras por hora). El flujo se mide a intervalos de 12 minutos.
Hora | 6:00 | 6:12 | 6:24 | 6:36 | 6:48 | 7:00 | 7:12 | 7:24 | 7:36 | 7:48 | 8:00 | 8:12 |
Gasto | 6.2 | 6.0 | 5.9 | 5.9 | 6.2 | 6.4 | 6.5 | 6.8 | 6.9 | 7.1 | 7.3 | 6.9 |

¿Cuáles la cantidad de petróleo bombeado en 2 horas y 12 minutos?

Solución del Problema

El petróleo bombeado lo calculamos multiplicando el gasto por el tiempo. Ya que el gasto es una variable, aplicamos la siguiente integral:
P=02.2gasto dt
Colocamos 2.2, ya que convertimos los 12 minutos = 0.2 horas. Ya que tenemos las imágenes de la función, y los límites de la integral son cerrados; vamos aaproximar la integral con los métodos numéricos cerrados. Utilizaremos:
* Regla Trapezoidal
* Simpson 1/3
* Simpson 3/8
Regla Trapezoidal
I=h2fx0+2i=1n-1fxi+fxn
Donde h=b-an
Como en la Regla Trapezoidal tenemos que dividir el área encerrada por los límites de la integral en “n” cantidad de rectángulos y en el problema dado ya tenemos las imágenes de la función, escogeremos n=11.Esto se debe a que el tiempo total de las 12 horas dadas es de 2 horas 12 minutos, lo que significa que la f(0) o en otras palabras la f(6:00) es 6.2, y así sucesivamente. Y por tener los 12 valores del gasto, “n” tiene que ser igual a 11.
Habiendo explicado la razón por la que escogimos “n=11”, proseguimos a desarrollar la integral:
Tenemos que
h=b-an=2.2-011=0.2
Al sustituir los valores delgasto en la fórmula del trapezoide tenemos:
P=0.226.2+26.0+5.9+5.9+6.2+6.4+6.5+6.8+6.9+7.1+7.3+6.9
Y obtenemos que
P=14.31=14,310 lb

Simpson 1/3 y Simpson 3/8
Como tanto el método de Simpson 1/3 y Simpson 3/8 tienen sus restricciones decidimos juntarlas. Esto se debe a que como ya explicamos, “n” tiene que ser igual a 11. Entonces como en Simpson 1/3 solo podemos escoger números pares para“n” y en Simpson 3/8 “n” tiene que ser igual a 3; utilizáremos:
n=3 Simpson 3/8
n=8 Simpson 1/3
Y así tendremos (8+3=11) que “n=11”.
* Simpson 1/3
I=h3fx0+4i=imparn-1fxi+2j=parn-2fxi+f(xn)

* Simpson 3/8
I=(b-a)fx0+3fx1+3fx2+fx38
Donde en ambos h=b-an
Es importante notar que los limites de integración ya no serian los mismos, ya que en un método solo estamosescogiendo 8 cuadrados y en el otro solo 3. Sin embargo, h no cambiaria. Entonces:

Con Simpson 1/3 tenemos que:
h=b-an=1.6-08=0.2
I=0.236.2+46.0+5.9+6.4+6.8+25.9+6.2+6.5+6.9=10.04666667
Con Simpson 3/8 tenemos que:
h=b-an=2.2-1.63=0.2
I=0.66.9+37.1+37.3+6.98=4.275
Entonces,
P=10.04666667+4.275=14.32166667→*1000=14,321.67 lb

Resultados

Con el método del trapezoide tenemos que
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