Aproximaciones sucesivas

APLICACIÓN DE
MÉTODOS NUMÉRICOS
DE ANÁLISIS:
PRÉSTAMO AMORTIZABLE
SISTEMA FRANCÉS CUANDO EL
TIPO DE INTERÉS NO ES
CONOCIDO.
RESOLUCIÓN MEDIANTE:
*TEOREMA DEL PUNTO FIJO.
*MÉTODO DE NEWTON DE LAS
TANGENTES.
AUTOR: JOSÉ MANUEL GÓMEZ VEGA.
FECHA: NOVIEMBRE 2001
Se intenta realizar un problema práctico para resolver mediante
métodos numéricos de análisis el tipo de interés en unpréstamo
amortizable cuando se conocen las demás variables y usando la
ecuación de la amortización de un préstamo. Obsérvese el rigor con
que se deben aplicar las hipótesis de los teoremas para llegar a
resultados coherentes y que aseguren la convergencia.
El trabajo está íntegramente realizado por el autor, por lo que
existirán errores (agradecería que alguien los comentara, mi correo
electrónicoes gomezvega@hotmail.com) y sólo se han consultado
materiales complementarios para la aplicación del método de
Newton de las tangentes pues mediante el conocimiento del teorema
del punto fijo (Unidades didácticas de Ampliación de Cálculo), es
posible llegar a encontrar soluciones. La importancia de conocer
algunos métodos numéricos para la resolución de problemas es vital
en estos estudios,para no recurrir al método del tanteo con la
calculadora que en algunas ecuaciones será más fácil, pero en otras
será también complicado. Los métodos numéricos no se ven como
tales en el primer ciclo actual de la ETS de Ingenieros Industriales
de la UNED, pero se han resuelto problemas básicos de resolución
de ecuaciones tipo x = f(x). Espero que con este trabajo sea
comprensible laresolución de este tipo de problemas con una
mayor, si cabe, profundidad y además se presenta como una alerta
al estudiante-compañero que descuide las matemáticas como
herramienta fundamental de trabajo.
PRÉSTAMO AMORTIZABLE SISTEMA FRANCÉS.
Cuando el tipo de interés no es conocido.
El sistema de préstamos francés es el que rige las transacciones financieras españolas desde
su introducción en losaños 80 por el gobierno. Se han visto procedimientos para el cálculo de
las cuotas periódicas, partiendo de la fórmula que relaciona la cuota con las demás variables
intervinientes:
T  C1  Im Nm  Im
1  Im Nm  1
1
donde hemos sustituido
n  Nm 2
y recordando las variables
T  cuota periódica
Im  tanto efectivo equivalente a la periodicidad
I  tanto efectivo anual
N  númerode años
m  periodicidad
C  capital préstamo
teniendo también presente que
Im  1  I 1m
 1 3
Sin embargo, para calcular directamente las tasas, tipos de interés o tanto efectivo de
interés partiendo de la fórmula anterior observamos como la presencia de expresiones
logarítmicas en las cuales hay adiciones y sustracciones nos impiden llegar a despejar Im
respecto a las demásvariables.
Únicamente podremos llegar a obtener una relación de cálculo para I aplicando técnicas
matemáticas avanzadas recurriendo a lo que se conoce como MÉTODOS NUMÉRICOS.
Dichas técnicas fueron desarrolladas hace tres siglos cuando los matemáticos encontraban
frecuentemente ecuaciones en las que en ambos miembros de la igualdad aparecía una misma
variable la cual era imposible de despejarsedirectamente debido a la presencia de expresiones
exponenciales o logarítmicas.
En los primeros balbuceos del Cálculo Infinitesimal inventado por Newton (como hoy en
día nadie pone en duda aunque paralelamente Leibnitz lo descubriera en la misma línea
temporal pero un poco después), se había prestado mucha atención al tema de como encontrar
una línea tangente a un punto de una función en el planoxy para cualquier valor de dicha
función. La introducción newtoniana del concepto del número real que tiende a elementos
infinitésimos (tendentes a cero) o elementos que tienden al infinito, hace descubrir una potente
herramienta de cálculo no conocida hasta entonces que posibilitó el arranque de la ciencia
después de siglos de ignorancia, superstición y decadencia. Analizando la...