Aproximaciones

Introducción

Aproximar significa en matemáticas sustituir ciertos objetos X bajo interés por otros más amigables que denotaremos por A. El objetivo es obtener cierta información relativa a X. Es muy frecuente que X sea la incógnita de un problema. Resolver dicho problema significa obtener, con muchas dificultades, cierta información. Sobre la base de los datos que ofrece el problemaencontramos un elemento A- posiblemente en otro espacio más simple que el original donde habita X- que es portador de información relativa a X. Esto último sería un método de solución. La Teoría de Aproximación intenta decirnos cómo construir A, y cómo medir la calidad de la información que éste último nos brinda. Teoría de la Aproximación es uno de los dos grandes pilares en los que se apoya el AnálisisNumérico

Desarrollo

1. ¿Que es aproximación?
Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que representa a un número cuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto X, será una mejor aproximación de ese número.
Ejemplos:
– 3.1416 es una aproximación numérica de p,
– 2.7183 es una aproximación numérica de e,
– 1.4142 es una aproximaciónnumérica de Ö2,
– 0.333333 es una aproximación numérica de 1/3
Una aproximación usualmente se realiza cuando una forma exacta o un valor numérico exacto son desconocidos o difíciles de obtener. Sin embargo, puede conocerse alguna forma, que sea capaz de representar a la forma real, de manera que no se presenten desviaciones significativas. También se utiliza cuando un número es irracional, como elnúmero π, en cuyo lugar muchas veces se emplea el 3.14, √7 como ≈ 2.65.2 Las aproximaciones numéricas a veces son efecto del uso de una cantidad pequeña de dígitos significativos.
La teoría de la aproximación es una rama de las matemáticas, una parte cuantitativa del análisis funcional. La aproximación diofántica se dedica a la aproximación de números reales por medio de números racionales. Elsímbolo doble tilde "≈" significa "aproximadamente igual a". La tilde (~) a veces se usa para indicar una aproximación de inferior calidad (p.ej. 92 ~ 100).

2. Características de las aproximaciones

 Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil recordarlo y operar con él. Por eso lo solemos sustituir por otro más manejable de valor similar, prescindiendo de sus últimas cifras, que sustituimospor ceros. Ese otro número más sencillo decimos que es una aproximación del número de partida.
 Cuando aproximamos un número, nos quedamos con sus primeras cifras y completamos con ceros. Esas cifras, con las que nos quedamos, se llaman cifras significativas.
 Llamamos orden de la aproximación, a la posición hasta la que nos quedamos con cifras significativas.
 Se puede aproximar pordefecto si el número utilizado es menor que el de partida, o por exceso si el número utilizado es mayor que el de partida.

3. Aproximación de un número real

Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próximo al número dado.

4. Aproximaciones por defecto y por exceso

• Aproximación por defecto: buscamos el número conun determinado número de cifras que es inmediatamente menor que el dado.
• Aproximación por exceso: es el número con las cifras decimales fijados inmediatamente mayor.

Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales:

a) Por defecto es 1.34
b) Por exceso es 1.35
Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior loserrores que se cometen son:

a) | 1.3456 - 1.34 | = 0.0056
b) | 1.3456 - 1.35 | = 0.0044

5. Redondear
Consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comente un error menor, en nuestro caso si redondeamos 1.3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1.35.
En la siguiente tabla tenemos casos de aproximaciones y redondeo:

Número Expresión decimal...