apunte calculo

NOTAS INTRODUCTORIAS
MAT 023-024

e
α1
´
α2
β1
´
α1

β2

α3

C

β3
α2
´
α3

Departamento de Matem´ticas
a
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Casilla 110-V, Valpara´
ıso
Chile


´
Indice general
Introducci´n
o

7

Cap´
ıtulo 1. FUNCIONES
1.1. Funciones
1.2. Gr´fico de Funciones
a
1.3. Funciones Coordenadas
1.4. Superficies de Nivel

9
9
1011
12

Cap´
ıtulo 2. EL ESPACIO EUCLIDIANO Rn
2.1. El Espacio Vectorial Rn
2.2. El Espacio Vectorial Rn
2.3. Transformaciones Lineales
2.4. Vectores y Valores Propios
2.5. Matrices Asociadas a Transformaciones Lineales
2.6. El Espacio Euclidiano Rn
2.7. El Espacio Topol´gico Rn
o
2.8. Isometr´ Euclidianas
ıas

17
17
20
20
22
23
25
27
28

Cap´
ıtulo 3. LIMITES YFUNCIONES CONTINUAS
3.1. Puntos l´
ımites
3.2. L´
ımite
3.3. Propiedades de L´
ımites
3.4. Continuidad
3.5. Propiedades de Funciones Continuas

33
33
33
34
37
37

Cap´
ıtulo 4. FUNCIONES DIFERENCIABLES
4.1. Funciones Diferenciables
4.2. Continuidad Asegurada por Diferenciabilidad
4.3. Derivadas Parciales y Direccionales
4.4. Situaci´n Vectorial
o
4.5. Pregunta natural
4.6.Jacobianas, Gradientes
4.7. Propiedades de funciones diferenciables
4.8. Derivadas Parciales de Orden Superior
4.9. Valores Regulares y Cr´
ıticos

41
41
42
44
45
45
46
49
53
55

3

´
Indice general

4

4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.

Planos Tangentes, Normales
Propiedad Geom´trica del Gradiente
e
M´ximos y M´
a
ınimos
M´ximos y M´
a
ınimossobre Regiones Compactas
El M´todo de los Multiplicadores de Lagrange
e
F´rmula de Taylor
o
Teorema de la funci´n Inversa
o
Teorema de la funci´n Impl´
o
ıcita

56
59
60
64
66
70
71
72

Cap´
ıtulo 5. CURVAS
5.1. Parametrizaci´n de curvas
o
5.2. Integraci´n de Curvas
o
5.3. Reparametrizaci´n de curvas
o
5.4. Relaci´n de velocidades para reparametrizaciones
o
5.5. Longitudde arco
5.6. Caso de parametrizaciones diferenciables
5.7. Longitud de arco y reparametrizaciones
5.8. Par´metro de longitud de arco
a
5.9. Curvas espaciales: triedro m´vil
o
5.10. Curvatura

75
75
77
77
78
79
80
80
81
83
83

Cap´
ıtulo 6. INTEGRACION MULTIPLE
6.1. La Noci´n R´ stica de Integral
o
u
6.2. Propiedades Lineales de Integrales
6.3. C´lculo de Integrales M´ltiples por Integrales Iteradas
a
u
6.4. Sistemas de Coordenadas
6.5. Algunas Aplicaciones

87
87
94
95
98
102

Cap´
ıtulo 7. INTEGRACION DE LINEA
105
7.1. Calculando la masa de un cable
105
7.2. Calculando el trabajo realizado por una fuerza sobre una
trayectoria
106
7.3. Centros de masas y momentos de inercia
109
7.4. Fluidos planares
109
7.5. Teorema de Green
110
Cap´ıtulo 8. LEGOS Y SUPERFICIES
8.1. Piezas de lego
8.2. Reparametrizaciones de Piezas de Lego
8.3. Integraci´n en Piezas de Lego
o
8.4. Legos
8.5. Legos Orientados
8.6. Superficies compactas

119
119
122
123
125
126
126

´
Indice general

8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
8.11.
8.12.
8.13.

Superficies cerradas
Integraci´n en Superficies Compactas
o
Area de Superficies
Plano TangenteFlujos en Superficies Compactas Orientadas
El Teorema de Stokes
Teorema de la Divergencia

5

127
127
127
128
129
131
134

Cap´
ıtulo 9. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 139
9.1. Motivaci´n
o
139
9.2. Problema de Cauchy
139
9.3. Existencia de Soluciones
140
9.4. Unicidad de Soluciones
140
9.5. M´todo de Aproximaciones Sucesivas
e
142
9.6. Sistemas Aut´nomos
o
1439.7. Problemas Unidimensionales
145
9.8. Ecuaciones Homog´neas
e
150
Cap´
ıtulo 10. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 157
10.1. Ecuaciones Diferenciales Parciales Cuasilineales de
Primer Orden, Nociones B´sicas
a
157
10.2. Formas Normales de Ecuaciones Diferenciales Parciales 167
Bibliograf´
ıa

179

´
Indice alfab´tico
e

181

Introducci´n
o
A pesar de la existencia...