Apunte De Analisis Matematico I

Analisis matem´tico I a

February 9, 2013

1

Variaci´n de funciones R → R o

Maximos y minimos locales: Sea f : R → R; A ⊂ dom(f ), c ∈ Int(A), f(c) es maximo local de f en A si existe d¿0 tal que f (x) 0 para x en (a,c) y f (x) > 0 para x en (c,b); o f (x) > 0 para x en (a,c) y f (x) < 0 para x en (c,b); entonces f no tiene extremo local en c. Demostraci´n: o 1. f es no decreciente en(a,c) → f (x) ≤ f (c) para todo x en (a,c); f es no creciente en (c,b) → f (x) ≤ f (c) para todo x en (c,b); f (x) ≤ f (c) para todo x en [a,b] → f tiene maximo local en c. 2. Igual a 1. 3. f (x) > 0 para x en (a,c) y para x en (c,b), entonces f es creciente en (a,b), por lo que no tiene extremo local en (a,b) (para el caso de que f (x) < 0, es igual) Condici´n suficiente para la existencia deextremos locales (crio terio derivada segunda): Sea f derivable en un entorno E(c) de c, f (c) = 0 y existe f”(c). 1. Si f (c) < 0, f tiene maximo relativo en c. 2. Si f (c) > 0, f tiene minimo relativo en c. Demostraci´n: o 1. Si f (c) = limx→c
f (x)–f (c) < 0, entonces existe un entorno (a,b) de c x−c f (x)–f (c) f (x) = x−c < 0 para todo x en (a, c)∪(c, b). Supongamos x−c

tal que (a,b) en E(c)(o tomemos F (c) = (a, b) ∩ E(c) ), entonces f es continua sobre (a,b) y f (x) > 0 para todo x en (a,c) y f (x) > 0 para todo x en (c,b), por lo tanto por el criterio de la derivada primera, f tiene m´ximo local en c. a 2. Igual a 1. Concavidad y convexidad: Una funci´n es convexa (c´ncava hacia o o arriba) sobre un intervalo [a,b] si para todo par de puntos x1 y x2 en [a,b] se cumple que: f ((1 −t)x1 + tx2) ≤ (1 − t)f (x1) + tf (x2)

2

para todo t en [0,1]2 Una funci´n es c´ncava si se cambia el ≤ por ≥ en la definicion de o o convexa. Teorema: Si f (x) ≥ 0 para todo x en (a,b) entonces f es convexa en (a,b) (y concava si ≤) Demostraci´n: Sean x1 , x2 ∈ (a, b), x1 < x2 , t ∈ (0, 1), c = (1−t)x1 +tx2 . o Seg´n el teorema del valor medio, existen puntos c1 ∈ (x1 , c), c2 ∈ (c, x2 ), utales que f (c) − f (x1 ) f (c1 ) = c − x1 f (c2 ) = f (x2 ) − c x2 − c

Como f (x) ≥ 0 en (a, b), f (x) es no decreciente en (a, b), entonces f (c1 ) ≤ f (c2 ). f (c) − f (x1 ) f (x2 ) − f (c) ≤ c − x1 x2 − c f (c) − f (x1 ) f (x2 ) − f (c) ≤ (1 − t)x1 + tx2 − x1 x2 − (1 − t)x1 − tx2 f (c) − f (x1 ) f (x2 ) − f (c) ≤ t(x2 − x1 ) (x2 − x1 )(1 − t) (1 − t)(f (c) − f (x1 )) ≤ t ∗ (f (x2 ) − f(c)) (1 − t)f (c) − (1 − t)f (x1 ) ≤ tf (x2 ) − tf (c) f (c) ≤ (1 − t)f (x1) + tf (x2) Puntos de inflexi´n: Un punto sobre la gr´fica donde la direcci´n de o a o concavidad cambia. Asintota vertical: Si limx−>a f (x) = ±∞, f tiene asintota vertical en a. Asintota oblicua: Si lim x− > ±∞f (x) − ax − b = 0, f tiene asintota oblicua, con a = limx−>±∞ f (x) y b = limx−>±∞ f (x) − ax. x Estudio completo deuna funci´n: o
esto equivale a decir que el segmento (x1, f (x1)) → (x2, f (x2)) est´ siempre por a encima de la curva f (x))
2

3

1. Dominio. Continuidad. Discontinuidades y clasificaci´n. As´ o ıntotas verticales. 2. Paridad, imparidad, periodicidad. 3. Ceros 4. Signo. 5. Puntos cr´ ıticos 6. Intervalos de (de)crecimiento. Extremos relativos. 7. Concavidad y convexidad. Puntos deinflexi´n. o 8. Asintotas oblicuas 9. Gr´fico a 10. Imagen. Supremo e ´ ınfimo.

2

Integraci´n o

Funci´n primitiva: Sean las funciones f y F , y el conjunto A ⊂ DF ∩Df , se o dice que F es primitiva o antiderivada de f en A si F (x) = f (x)∀x ∈ A. Integral indefinida: Si F es primitiva de f se llama integral indefinida de f a f (x) dx = F (x) + C Propiedades d d ( f (x) dx) = (F (x) + C) = F (x) = f (x)dx dx (f (x) + g(x))dx = f (x) dx + f (x) dx g(x) dx

(cf (x))dx = c M´todos de integraci´n e o Integraci´n inmediata: o

dx = x + c

4

kdx = kx + c 1 xr+1 + c (r = −1) r − +1 1 dx = ln |x| + c x 1 x a + c (a > 0, a = 1) ax dx = ln(a) xr dx = ex dx = ex + c sin(x)dx = − cos(x) + c cos(x)dx = sin(x) + c 1 dx = tan(x) + c cos2 (x) 1 dx = − cot(x) + c sin (x)
2

1 dx = arcsin(x) + c...