Apuntes De Análisis Matemático

Análisis Matemático I
Mónica Clapp Agosto-Diciembre 2005

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Índice general
1. Espacios métricos 1.1. De…nición y ejemplos . . . . . 1.2. Algunas desigualdades básicas 1.3. Espacios de funciones . . . . . 1.4. Isometrías . . . . . . . . . . . 1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . 1 1 7 11 15 16 19 19 23 27 29 33 33 35 39 40 42 45 47 51 51 53 53 57 60 65

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2. Continuidad 2.1. De…niciones y ejemplos . . . . . . . . . . 2.2. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados 2.3. Convergencia desucesiones . . . . . . . . 2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Convergencia uniforme 3.1. Convergencia uniforme en espacios métricos . . . . 3.2. Espacios métricos completos . . . . . . . . . . . .. 3.3. El criterio de Cauchy para la convergencia uniforme 3.4. El espacio de funciones continuas y acotadas . . . . 3.5. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Convergencia uniforme y derivadas. . . . . . . . . . 3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

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4. Teoremas de existencia 4.1. El teorema de punto …jo de Banach . . . . . . . . . . . . 4.2. Ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. La ecuación integral de Fredholm de segundo tipo 4.2.2. La ecuación integral de Volterra de segundo tipo . 4.3. El problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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ÍNDICE GENERAL

5. Teoremas de aproximación 5.1. Espacios separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. El teorema de aproximación de Weierstraß. . . . . . . . . . .. . . . . 5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Compacidad 6.1. Conjuntos compactos . . . . . . . 6.2. El teorema de Heine-Borel . . . . 6.3. Continuidad uniforme . . . . . . . 6.4. El teorema de Stone-Weierstraß. 6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .

69 69 71 77 79 79 82 84 85 89 91 91 95 98 101 103 103 105 107 110

7. Compacidad en espacios de funciones 7.1. Conjuntos totalmente acotados. . . . 7.2. El teorema de Arzelà-Ascoli. . . . . . 7.3. El problema de Cauchy . . . . . . . . 7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . 8. Existencia de mínimos 8.1. Existencia de trayectorias geodésicas 8.2. Semicontinuidad . . .. . . . . . . . . 8.3. Existencia de trayectorias geodésicas 8.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

Capítulo 1 Espacios métricos
1.1. De…nición y ejemplos

Algunos conceptos fundamentales, como el de convergencia de una sucesión o el de continuidad de una función, están de…nidos exclusivamente en términos de la noción de distancia. Otras propiedades de los espacios euclidianos,...