Apuntes de matemáticas i

Apuntes de Matem´ticas I a
Profr. A. M. Ernestino* Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 DGB-SEP
Titular de la Asignatura

Agosto, 2008

Resumen Este documento esta integrado por un resumen de los conceptos b´sicos de a ´ las Unidades que integran el programa de la asignatura Matematicas I del Bachillerato General.

1.

N´ meros Reales u

Los n´meros han surgido a lo largo de lahistoria como una herramienta para resolver u problemas de conteo, medici´n, ordenaci´n, etc. Actualmente lo vemos como algo ya o o terminado y tendemos a creer que siempre existieron as´ sin embargo, en cada ´poca, ı, e cuando se introduc´ alg´n n´mero nuevo o grupos de n´meros, a menudo se suscitaıa u u u ban pol´micas muy fuertes y estos n´meros tardaban muchos a˜os en ser aceptados e u n por lacomunidad en general, tal es el caso del cero, los n´meros negativos, los n´meros u u irracionales, etc. ´ 1. Numero natural Los n´meros naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres u manzanas, . . . ). Un n´mero natural es cualquiera de los n´meros: u u N = {1, 2, 3, . . . } Que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron losprimeros que utiliz´ el ser humano para contar objetos de la natuo raleza. Algunos matem´ticos (especialmente los de Teor´ de N´meros) prefieren no reconocer a ıa u ıa el cero como un n´mero natural, mientras que otros, especialmente los de Teor´ de u conjuntos, L´gica e Inform´tica, tienen la postura opuesta. o a
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´ ´ Definicion de los numeros naturales Definicionesno matem´ticas a ˜ La Real Academia Espanola los define como “cada uno de los elementos de la sucesi´n 0, 1, 2, 3, . . . ” o Definici´n de n´mero: s´ o u ımbolo que indica una cantidad, estos s´ ımbolos seg´n u datos hist´ricos comienzan en el antiguo Egipto y la Mesopotamia, no se sabe o d´nde, cu´ndo, ni por qui´n, pero fueron inventados por el hombre, al observar la o a e gran cantidad y variedadde elementos que hay en la naturaleza. Surgi´ entonces o la necesidad e inquietud matem´tica. a Definici´n de natural: seg´n el diccionario Larousse se refiere a la naturaleza y o u tambi´n al originario de un lugar. e Postulados de Peano Los Postulados de Peano describen al conjunto de los n´meros naturales, que se denota u por N, de la siguiente forma: Sea el n´mero natural 1 u Cada n´meronatural a tiene un subsiguiente, denotado por a + 1. u No hay n´meros naturales cuyo subsiguiente sea 1. u Si dos n´meros naturales son distintos, sus subsiguientes tambi´n lo son, esto es: u e si a = b, entonces a + 1 = b + 1. Esto permite establecer una relaci´n de orden entre los elementos del conjunto a pesar o que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se definemediante la expresi´n: o a ≤ b ⇐⇒ a ⊆ b Es decir que un n´mero a es menor o igual que b si y s´lo si b contiene a todos los u o elementos de a. Tambi´n se puede usar otra definici´n m´s inmediata a partir del hecho de que cada e o a n´mero natural consta de sus antecesores. As´ u ı: a≤b si y s´lo si a ∈ b. o Propiedades de los n´ meros naturales u La suma y multiplicaci´n son compatibles gracias a lapropiedad distributiva que se o expresa como sigue: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

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Los n´meros naturales est´n totalmente ordenados; la relaci´n de orden a ≤ b se puede u a o redefinir como a ≤ b si y s´lo si existe otro n´mero natural c que cumple: a + c = b. o u Este orden es compatible con todas las operaciones aritm´ticas de esta manera: e si a, b y c son n´merosnaturales y a ≤ b, entonces: u a+c≤b+c a×c≤b×c Una propiedad importante del conjunto de los n´meros naturales es que es un conjunto u bien ordenado: esto es, cualquier conjunto compuesto de n´meros naturales tiene un u elemento m´ ınimo (uno m´s peque˜o que los dem´s). a n a En los n´meros naturales existe el algoritmo de la divisi´n. Para cualesquiera dos u o n´meros naturales a y b, con b = 0,...