Apunte de curvas(matematica)

MATEMÁTICA I
CÓD. 10025
AÑO 2012

CURVAS PLANAS
Y
SISTEMAS NO LINEALES


FUNCIONES Y CURVAS PLANAS

GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN

DEFINICIÓN: Dado un conjunto E de números reales y una función f con dominio en E se define el gráfico de f como el conjunto G de pares ordenados de :

(*)

El gráfico de una función definida en un conjunto de números reales se llama curva del plano,existen curvas del plano que no corresponden al gráfico de ninguna función. En los ejemplos que siguen, el primero corresponde al gráfico de una función, mientras que el segundo no.
Ejemplos: (Usar el Graphmatica)

1.
2.

Aprovechar las gráficas para realizar un reconocimiento visual del dominio y codominio de una función.

CURVAS PLANAS

DEFINICIÓN: El conjunto de todos los puntos delplano xy que satisfacen la ecuación:
(**)
se llama curva del plano xy o curva plana.

Algunas de estas curvas corresponderán al gráfico de una función , precisamente aquellas en las cuales, bajo ciertas condiciones, se pueda despejar y en función de x. (Ejemplo 1 Pág.1).

En el caso , el conjunto de pares de puntos de (*) es precisamente el de las soluciones de la ecuación (**).¿Cuáles la de la definición de curva plana?



LA RECTA

Dados tres números A, B y C, siendo A y B no simultáneamente nulos, los puntos (x,y) del plano que satisfacen la ecuación:


(1) A x + B y + C = 0


están ubicados sobre una curva llamada recta.

Llamaremos a (1) ECUACIÓN GENERAL de la recta.

Estudiaremos dicha ecuación en los siguientes casos:
Si , despejando y de(1) resulta:


Llamando y se tiene:



llamada ECUACIÓN EXPLÍCITA de la recta, en la que m es la pendiente y b la ordenada al origen.
Si y se obtiene de (1)



que es la ecuación de una recta vertical.

En este caso la pendiente m no está definida. ¿Esta recta es el gráfico de alguna función? ¿Por qué?

Las rectas correspondientes al primer caso corresponden al gráficode las FUNCIONES LINEALES.

Si A, B y C son distintos de cero obtenemos:



La ECUACIÓN SEGMENTARIA de la recta donde y , y además y son los puntos en que la recta corta a los ejes x e y respectivamente. ¿Qué pasa si ?

¿Qué pasa si los coeficientes A y B son cero simultáneamente?

Si ¿cuáles de los distintos tipos de ecuaciones resultan equivalentes?

Ejercicio: transformar laecuación segmentaria de una recta en la ecuación general.

Volviendo a la ecuación explícita de la recta , puede verse que , donde es el ángulo que la recta forma con el eje de las x.
Nota: Usar como referencia el gráfico de la página 102 del texto. Deducir la ecuación de la recta que pasa por 2 puntos del plano (usar la pantalla Rectas del soft Rectas y ..):

(2)

Definición 1:
Dosrectas se dicen paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente ó bien son ambas verticales.

Definición 2:
Dos rectas se dicen perpendiculares si y sólo si forman un ángulo de 90º.

Corolario:
Las rectas e son perpendiculares si y sólo si

Estudiaremos algunas condiciones para hallar la ecuación de una recta:

1. Dados un punto y la pendiente

2. Dados dos puntos (visto en (2))1. Sea y sea m la pendiente de la recta.

La ecuación de la recta buscada será:





Ejercicios:
1. Usar el software Rectas y….. para visualizar el efecto de m sobre α. (graficar usando m positivo, cero, negativo, etc.)
2. Calcular la pendiente de la recta .
3. Hallar las intersecciones, si es que existen, de la recta con los ejes coordenados.
4.Graficar en el planocartesiano la recta usando el concepto de pendiente y ordenada al origen.
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por y es paralela a la recta del ejercicio 2.
6. De todas las rectas que pasan por , hallar la ecuación (la que quiera o pueda) de la recta:
a) Que tiene ordenada al origen nula.
b) Que tiene pendiente .
c) Que es paralela al eje de las abscisas.
d) Que es paralela al eje de las...