apunte de estadística

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD


PROF. JORGE SUDY O.


Introducción.

El análisis del comportamiento probabilístico de una población, resulta habitualmente demasiado extenso y por consiguiente la situación nos obliga a determinar funciones de probabilidad que permitan establecer el comportamiento de un experimento. Es así, que para una gran cantidad de variables aleatorias cuyocomportamiento es conocido, se han establecido modelos de comportamiento probabilístico, de manera de poder facilitar el conocimiento de la población en estudio. En consecuencia las v.a. que se asocian con experimentos que tienen el mismo tipo de comportamiento pueden describirse, esencialmente, por la misma distribución de probabilidad y por lo tanto se representan por una sola fórmula.
Los modelosprobabilísticos que a continuación se presentan corresponden a los de uso más frecuente y de acuerdo con la v. a. en estudio, pueden ser discreta o continua.


MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETOS

En esta parte, trataremos de identificar situaciones que se presentan a menudo y que pueden asociarse de alguna manera a ciertos Modelos Probabilísticos

Distribución discreta uniforme:

Es la mássimple de todas las distribuciones discretas de probabilidad, es aquella en la cual la v. a. asume cada uno de sus valores con idéntica probabilidad. Tal distribución recibe el nombre de distribución uniforme discreta.

Definición: Si la v. a. X asume los valores x1, x2, ……, x k , con iguales probabilidades, entonces la distribución discreta uniforme es:

f (x; k) = 1 x = x1, x2, ……, x k.
K
Se ha utilizado la notación f (x; k) en lugar de f(x) para indicar que la distribución depende del parámetro k.


Ejemplo: Cuando un foco se selecciona al azar de una caja, que contiene un foco de 40 watts, uno de 60, uno de 75, uno de 100, cada elemento del espacio muestral S = {40, 60, 75, 100} ocurre con una probabilidad de 1/4 . Por lo tanto, se tiene una dist. uniforme con:f (x; 4) = 1/4 ; x = 40, 60, 75, 100.

La representación gráfica de la distribución uniforme por medio de un histograma siempre es un conjunto de rectángulos con la misma altura. El histograma para el ejemplo es: TAREA


Teorema: La media y la desviación estándar de la distribución uniforme discreta f(x, k), están dadas por: TAREA


Distribución de Bernoulli

Frecuentemente unexperimento consisten en ensayos repetidos, cada una con dos posibles resultados que pueden ser éxito y fracaso. La aplicación más obvia se da en las pruebas de artículos a medida que salen de una línea de producción, donde cada prueba o experimento puede indicar si uno de ellos está o no defectuoso. Este proceso se conoce como proceso de Bernoulli. Cada intento se llama experimento de Bernoulli.El proceso de de Bernoulli debe tener las siguientes propiedades:

1.- El experimento consiste en n intentos repetidos.
2.- Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasificarse como un éxito o un fracaso.
3.- La probabilidad de éxito, representada por p, permanece constante para todos los intentos.
4.- Los intentos repetidos son independientes.

P(éxito) = p y P(fracaso) = q ;donde p + q = 1


De esta manera si ; el recorrido es Rx {0,1}

La probabilidad de tener exactamente x éxitos y n-x fracasos en n procesos independientes de Bernoulli en un orden dado es:


Esto es, x~ B (p) y se tiene que:

La media  = p y la varianza 2 = pq







Distribución Binomial

Si se tiene un experimento ε y un suceso A asociado alexperimento, y si definimos a la variable X como el número de veces que puede ocurrir tal suceso A. Entonces la probabilidad de obtener “k” éxitos en “n” repeticiones de dicho experimento se obtiene de la siguiente expresión:



Esta distribución tiene parámetros n y p. Con



Si “X” se ajusta a esta distribución, la escribimos como

Ejemplo. Supongamos que la probabilidad que tienen las...