Apunte Probabilidades

Universidad T´
ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´atica

Profesor: Ronny Vallejos

Probabilidad y Probabilidad Condicional
1.

Combinaciones

Definici´
on 1.1. Sea A ≤ ∅ un conjunto finito tal que #A = n, se llama combinaci´on de r
elementos a todo subconjunto ordenado de r elementos, tomado del conjunto A de n elementos.
Observaci´
on 1.1. Dos combinaciones se distinguen entresi, por la naturaleza de los elementos
que la componen sin importar el orden.
La notaci´on que se usa para el n´
umero de combinaciones posibles es Crn =

r
n

.

Observaci´
on 1.2. Pensemos en el siguiente c´alculo: Vrn = Crn r!, luego
Crn =

Vrn
n!
=
.
r!
r!(n − r)!

Observaci´
on 1.3. Esta no es la primera vez que nos encontramos con este tipo de objeto. Cuando
estudiamos el teorema del binomiode Newton recordemos que
n
n

(a + b) =
k=0

n k n−k
a b , n ∈ N.
k

Este resultado lo usaremos m´as adelante cuando estudiemos la distribuci´on binomial.
Algunas propiedades de las combinaciones son las siguientes:
Propiedades 1.1.
1.

n
r

=

2.

n
0

= 1, para todo entero n > 0.

3.

0
n

= 1, para todo entero n > 0.

4. 2n =

n−1
r−1

+

n
n
k=0 k

n−1
r

para todos los enteros n, r > 0.

.5.

n
n

= 1, para todo entero n > 0.

6.

n
r

=

n
n−r

, para todos los enteros n, r > 0.

Ejemplo 1.1. ¿Cu´antos comit´es de 2 mujeres y 4 hombres pueden formarse con 5 matrimonios?
En este caso, tenemos que contar cuantas formas distintas tenemos de construir un comit´e con
esas carcter´ısticas. ¿ De cuantas formas podemos elegir 2 mujeres de un total de 5?, 52 . Similarmente, ¿de cu´antasformas podemos elegir 4 hombres de un total de 5?, 54 . Luego invocamos el
principio multiplicativo para determinar el n´
umero pedido,
5
5
×
2
4
MAT-042

=

5!
5!
×
= 100.
2! × 3! 4! × 1!
1

Abril, 2014

Universidad T´
ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´atica

2.

Profesor: Ronny Vallejos

Probabilidad

Un experimento (fen´omeno) aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparentede condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes (impl´ıcitamente se entiende que un experimento
aleatorio tiene m´as de un resultado posible.
Ejemplo 2.1. Consideremos el lanzamiento de un dado. Los resultados posibles son 1,2,3,4,5 y 6.
Note que en un experimento aleatorio se conocen los resultados antes de realizar el experimento.
Tambi´en note que es imposible predecir conabsoluta certeza el resultado del experimento aleatorio
antes de realizar el experimento.
Denotaremos los experimentos aleatorios por E.
Definici´
on 2.1. El conjunto de todos los resultados de un experimento aleatorio lo llamaremos
espacio muestral y ser´a denotado por Ω.
En el ejemplo anterior el espacio muestral asociado al lanzamiento de un dado es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ejemplo 2.2. Considere elexperimento E: lanzar una moneda insesgada. Claramente el espacio
muestral asociado a E es el conjunto Ω = {c, s}. Luego, los elementos del espacio muestral no
siempre son n´
umeros, sino pueden ser otros caracteres.
Definici´
on 2.2. (Definici´on Frecuentista) Sea A un evento. Definimos
n
,
N →∞ N

P[A] = l´ım

donde N : es la cantidad de veces que el experimento E se repite y n es la cantidadde veces que
el resultado es favorable.
Claramente existe un inconveniente en el c´alculo de la probablidad del evento A. Necesitamos
repetir varias veces el experimento para poder tener un valor cre´ıble. Esto puede ser no trivial
debido al costo de llevar a cabo estas repeticiones. Otro aspecto importante es que los eventos
deben ser equiprobables, de lo contrario la f´ormula no es v´alida.Definici´
on 2.3. Sea A un evento. Entonces
P[A] =

#A
N´
umeo de elementos de A
=
.
N´
umero de elementos de Ω
#Ω

Esta f´ormula es v´alida para casos equiprobables.
Surge la necesidad de estudiar las probabilidades desde un punto de vista m´as formal. Lo
haremos usando la teor´ıa de conjuntos. La teor´ıa axiom´atica de la probabilidad fue formalizada
por primera vez por Kolmogorov en 1933.
Ya hemos...