Apunte USM Ecuaciones Diferenciales De Orden Superior

Matemática III (MAT023)
Segundo semestre de 2010

Contenidos
• Ecuaciones Diferenciales de orden Superior. Teoría básica. Ecuación Homogénea, solución particular.
• Wronskiano. Fórmula de Abel.
• Ecuación con coeficientes constantes de segundo orden homogénea.
• Ecuación con coeficientes constantes de de orden arbitrario homogénea.
• Método de los coeficientes indeterminados (para la soluciónparticular).
• Método de variación de parámetros (para la solución particular).
• Ecuación De Euler.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
En la parte anterior del curso estudiamos las ecuaciones diferenciales del tipo
dy
= F x,y
dx
enunciando condiciones sobre F que garantizan existencia y unicidad, aprendimos también a resolver varios tipos de estas ecuaciones y como aplicar esto aresolver algunos tipos de problemas que
involucran ecuaciones diferenciales de primer orden.
Ahora estudiaremos ecuaciones diferenciales de orden superior pero un caso bastante particular,
ecuaciones del tipo lineal.

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática

1.1

Teoría general

Denotaremos por C n (I ) al espacio vectorial de todas la funciones de valores reales queadmiten derivada continua hasta orden n en todos los puntos del intervalo I . En particular se define C 0 (I ) = C (I )
como el espacio de las funciones continuas en el intervalo I .
Definición 1.1. Se dice que la transformación lineal
L : C n (I ) → C (I )
es un operador diferencial lineal de orden n en el intervalo I , si puede expresarse en la forma
L = a n (x ) D n + a n −1 (x ) D n −1 + · · · +a 1 (x ) D + a 0 (x )
donde a n (x ) , a n−1 (x ) , · · · , a 1 (x ) , a 0 (x ) son funciones continuas en el intervalo I , a n (x ) no es idéntii
camente nula en el intervalo y D i = ddx i .
La imagen de una función y ∈ C n (I ) por el operador diferencial lineal esta dada por
Ly (x ) = a n (x ) y (n ) (x ) + a n −1 (x ) y (n −1) (x ) + · · · + a 1 (x ) y (x ) + a 0 (x ) y (x )

Ejemplo 1.1. Eloperador L = x D 2 + 3 x D − 1 es un operador diferencial lineal de orden 2 en [0, +∞[
o cualquiera de sus subintervalos, actúa en la forma
Ly (x ) = x y (x ) + 3 x y (x ) − y (x )

Observación 1.1. En general los operadores diferenciales no conmutan, es decir, en general no se
cumple
L 1L 2 = L 2L 1
por ejemplo
D (x D) = x D (D)
en efecto
D (x D) y = D x y

= y + x y = D + x D2 y

pero
x D (D) y= x D y

= x y = x D2 y

Como ya hemos dicho, una ecuación diferencial lineal de orden n en un intervalo I es una ecuación diferencial de la forma
a n (x ) y (n ) (x ) + a n−1 (x ) y (n −1) (x ) + · · · + a 1 (x ) y (x ) + a 0 (x ) y (x ) = h (x )
note que esto puede ser escrito en términos del operador diferencial como
Ly (x ) = h (x )
Nelson Cifuentes F.

2

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Departamento de Matemática

Definición 1.2. Diremos que la ecuación es normal, si a n (x ) no se anula en ningún punto del intervalo I . Que es homogénea si h = 0 y no homogénea si h no es idénticamente nula en I .

Ejemplo 1.2. La ecuación
d 2y
+y =0
dx2
es una ecuación diferencial lineal homogénea normal de orden 2 y con coeficientes constantes en
o cualquier subintervalo.
Ejemplo 1.3. Laecuación
dy
d 2y
+x
+ cos x y = sin x
2
dx
dx
es lineal no homogénea de orden 2 y normal en ]0, +∞[ o también en ]−∞, 0[ (o cualquier subintervalo)
x3

Nuestro objetivo es resolver la ecuación
Ly = h
para ello enfrentaremos primero la ecuación homogénea
Ly = 0
note que y es solución si y solo si y ∈ ker (L), si pudiésemos encontrar una base
espacio
ker (L) = y ∈ C n (I ) : Ly = 0

= y 1 , y 2 , . .. , y n del

entonces toda solución podría escribirse en la forma
y (x ) = c 1 y 1 (x ) + · · · + c n y n (x )
(Al ser base todo elemento del núcleo (toda solución de la homogénea) se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base, es decir, c 1 y 1 (x ) + · · · + c n y n (x ) es una solución general de
la homogénea)
Para enfrentar el problema no homogéneo note lo siguiente,...