Apuntes de limites

1
LIMITE DE UNA FUNCION

Intuitivamente, el

lim f ( x)  L ,

significa que L corresponde al valor de y al cual se acerca la

xa

función f ( x) cuando los valores de x se acercan a a, y se lee " el límite de f ( x) cuando x tiende a a
es L”.

IMPORTANTE:
La función f ( x) puede no estar definida en x=a, es decir, puede ser que a ∉ D f ( x ) , a no esté en el
dominio de la función y de todasmaneras el límite de f ( x) cuando x tiende a a ser L.
La función f ( x) puede tener un valor distinto a L, es decir f (a)  M y M ≠ L y de todas maneras

lim f ( x)  L

xa

A continuación se ilustran los tres casos (Imagen tomada de Stewart Calculus Transcendentals 7th pdf
pag 88)

M

En el inciso
a) lim f ( x)  L y f (a)  L , es decir el límite cuando x tiende a a y el valor de la función soniguales,
xa

coinciden.
b) lim f ( x)  L y f (a)  M con M  L . Es decir el límite cuando x tiende a a es L a pesar de que
xa

el valor de la función es (a no está en el dominio de la función)

2
c) lim f ( x)  L y f (a), o dicho de otra manera a  D f ( x) es decir el límite cuando x tiende a a es
xa

L y la función no está definida en x=a (a no está en el dominio de la función)

LímitesLaterales.
Definición. Límite por la Derecha: lim f ( x)  L . Se lee “ el límite de f ( x) cuando x tiende a a
xa

por la derecha es L”. Significa que cuando uno se acerca por valores de x muy próximos a a desde la
derecha de a, los valores de f(x) se acercan a L.
Definición. Límite por la Izquierda: lim f ( x)  L
xa

Se lee “ el límite de f ( x) cuando x tiende a a

por la izquierda es L”.Significa que cuando uno se acerca por valores de x muy próximos a a desde la
izquierda de a, los valores de f(x) se acercan a L.
Definición Limite lim f ( x)  L  lim f ( x)  L y
xa
xa

lim

xa

f ( x)  L

Significa que el límite de f ( x) cuando x tiende a a es L sí y sólo sí existe el límite de f ( x) cuando x
tiende a a por la izquierda , existe el límite de f ( x) cuando x tiende a apor la derecha y los dos son
iguales a L

De la gráfica se puede observar que

lim

x2

g ( x)  3 y que lim g ( x)  1 por
x2

lo tanto no existe el lim g ( x) , porque los
x2
límites laterales son distintos.

(Imagen tomada de Stewart Calculus Transcendentals 7th pdf pag 92)

3
Ejemplo 1:

 e4 x
si
Sea f ( x)   2
 x  15 si

x4
x4

,

Encuentre lim f ( x) si existe
x4

Como setrata de una función definida por intervalos y justamente cambia la “receta” o regla de
correspondencia de la función en x  4 , debemos obtener los límites laterales y ver primero si existen y
después si son iguales, y de ser así entonces el lim f ( x) existe.
x4

lim f ( x)  lim e4 x  e44  e0  1 y

x4

x4

2

x4

Entonces como lim f ( x)  lim f ( x)  1
x4

x4

lim f ( x)  lim x2  15   4   15  16  15  1
x4

el límite cuando x tiende a 4 existe y es igual a uno

lim f ( x)  1

x4

La gráfica de la función se muestra a continuación:

Ejemplo 2:

 x  1 si
Sea f ( x)   2
 x  4 si

x2
,
x2

Encuentre lim f ( x) si existe
x2

Procedemos de la misma manera que en el ejemplo anterior, debemos obtener los límites laterales y
ver primero si existen y despuéssi son iguales, y de ser así entonces el lim f ( x) existe.
x2

4

lim f ( x)  lim x  1  3 y

x2

x2

lim f ( x)  lim  x 2  4   2   4  0
2

x2

Entonces como lim f ( x)  lim f ( x)
x2

x2

x2

el límite cuando x tiende a 2 no existe  lim f ( x)  1
x2

La gráfica de la función se muestra a continuación:

Límites Infinitos. Asíntotas Verticales.
Asíntota Vertical.- Larecta x  a es una asíntota vertical de la función f ( x) si sucede cualesquiera
de los siguientes casos:
1.

lim f ( x)  
xa

2.

4.

lim f ( x)   
xa

5.

lim

f ( x)  

3.

lim

f ( x)   

6.

xa

xa

lim

f ( x)  

lim

f ( x)   

xa
xa

Definición.- Sea f ( x) una función que está definida en un intervalo que contiene a a (esto significa
que puede no estar definida en x...