Apuntes de profresiones

PROGRESIONES

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA:
El matemático escocés John Napier, o más conocida- mente como Neper, barón de Merchiston (1550-1617) investigó el método de simplificar los cálculos numéricos y descubrió el principio que rige a los logaritmos al observar las relaciones entre las progresiones aritméticas y geométricas. Laspropiedades de los logaritmos descubiertos por él (perfeccionados seguidamente por Briggs con la introducción de la base 10 y la confección de tablas) abrevian considerablemente el cálculo numérico y gracias a su invención fueron posibles los trabajos de Kepler y Newton en Astronomía.

SUCESIONES

Se llama sucesión de números reales a toda aplicación del conjunto N en R.

Obsérvese que el conjuntoinicial de una sucesión es siempre N= 1, 2, 3, 4,… y el conjunto final es el conjunto de los números reales.
Las sucesiones se acostumbran a denotar como (an), donde an representa el término enésimo de la sucesión.
Para definir una sucesión necesitamos conocer todos sus términos, es decir, necesitamos poder escribir an para todo n Є N.

Ejemplo:

En la sucesión (an) el primer término es 2 ylos demás términos se obtienen sumando 5 al término anterior. Hallar los 5 primeros términos de la sucesión.

Solución: tendremos
a1 = 2
a2 = a1 + 5 = 2 + 5 = 7
a3 = a2 + 5 = 7+ 5 = 12
a4 = a3 + 5 = 12 +5 = 17a5 = a4 + 5 = 17 +5 = 22

Ejemplo:

En la sucesión (an), a1 = 2 y a2 = 3, y cada uno de los términos siguientes se obtiene sumando los dos términos anteriores. Hallar los 5 primeros términos de la sucesión.

Solución: tendremos

a1 = 2
a2 = 3
a3 = a1 + a2 = 2 +3 = 5a4 = a2 + a3 = 3 +5 = 8
a5 = a3 + a4 = 5 + 8 = 13

Ejemplo:

En la sucesión (an), el término enésimo viene dado por la expresión an= 4.n +3. Hallar los 5 primeros términos de la sucesión.

Solución: tendremos

a1 = 4 . 1 + 3 = 7
a2 = 4 . 2 +3 = 11
a3 = 4 . 3 + 3 = 15
a4 = 4 . 4 + 3 = 19
a5 = 4 . 5 + 3 = 23

Tal como puede observarse en los ejemplos anteriores, la mejor forma de definir una sucesión consiste en dar la expresión de su término enésimo, puesto que de esta manera resulta muy fácil escribir cualquiertérmino de la sucesión, ya que basta sustituir n por el número del lugar que ocupa en la sucesión el término que queremos hallar.

Ejemplo:

Hallar la expresión del término general de la sucesión

(an) = 3, 5, 7, 9, 11, …

Solución: tendremos
(an) = 2 . n + 1a1 = 2 . 1 + 1 = 3
a2 = 2 . 2 + 1 = 5
a3 = 2 . 3 + 1 = 7
a4 = 2 . 4 + 1 = 9
a5 = 2 . 5 + 1 = 11

Ejemplo:

Hallar la expresión del término general de la sucesión (an) = 2, 8, 18, 32, 50, …

Solución:tendremos
(an) = 2 . n2

a1 = 2 . 12 = 2
a2 = 2 . 22 = 8
a3 = 2 . 32 = 18
a4 = 2 . 42 = 32
a5 = 2 . 52 = 50

Ejemplo:

Hallar la expresión del término general...