Apuntes de técnicas de integración

ITSON.- Departamento de Matemáticas

CÁLCULO I

Técnicas de Integración
La integración no es tan directa como la derivación. No hay reglas que garanticen absolutamente la obtención de una integral indefinida de una función. Por consiguiente, es necesario desarrollar técnicas para usar las fórmulas de integración básicas con el fin de obtener integrales indefinidas de funciones más complejas.Integración por Partes.

 u dv  uv   v du
Integrales Trigonométricas:

 sen

m

x cos n x dx

(a)

Si la potencia de la función coseno es impar ( n  2k  1 ), guardar un factor coseno y utilizar cos 2 x  1  sen 2 x para expresar los factores restantes en términos de la función seno.

 sen

m

x cos 2 k  1 x dx 

 sen x  cos x  cos x dx  sen x  1  sen x  cosx dx 
m 2 k m 2 k

Luego, sustituir u  sen x (b) Si la potencia de la función seno es impar ( m  2k  1 ), guardar un factor seno y utilizar sen 2 x  1  cos 2 x para expresar los factores restantes en términos de la función coseno.


(c)

sen 2 k  1 x cos n x dx  

  sen x 
2

k

cos n x sen x dx x

  1  cos

2



k

cos n x sen x dx

Si las potencias delas funciones seno y coseno son pares, usar las identidades del semiángulo.
sen 2 x  1  1  cos 2 x  2 cos 2 x  1  1  cos 2 x  2

Técnicas de Integración

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CÁLCULO I

 tan

m

x sec n x dx

(a)

Si la potencia de la función secante es par ( n  2k ), guardar un factor de sec 2 x y utilizar sec 2 x  1  tan 2 x para expresar losfactores restantes en términos de tan x .

 tan

m

x sec 2 k x dx 

 tan x  sec x  sec x dx  tan x  1  tan x  sec x dx 
m 2 k 1 2 m 2 k 1 2

Luego, sustituir u  tan x (b) Si la potencia de la función tangente es impar ( m  2k  1 ), guardar un factor de sec x tan x y utilizar tan 2 x  sec 2 x  1 para expresar los factores restantes en términos de la función sec x .

tan 2 k  1 x sec n x dx  

  tan x 
2

k

sec n  1 x sec x tan x dx

  sec

2

x 1



k

sec n  1 x sec x tan x dx

Luego, sustituir u  sec x

Para evaluar las integrales: (a) (b) (c)

Usar las identidades: (a) (b) (c)
sen A cos B  sen A sen B  cos A cos B  1  sen  A  B   sen  A  B    2 1  cos  A  B   cos  A  B    2 1  cos  A B   cos  A  B    2

 sen  mx  cos  nx  dx  sen  mx  sen  nx  dx  cos  mx  cos  nx  dx

Sustitución Trigonométrica: Expresión
a2  x2 a2  x2 x2  a2

Sustitución
x  a sen 
x  a tan  x  a sec 

Identidad
cos 2   1  sen 2
sec 2   1  tan 2 tan 2   sec 2   1

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CÁLCULO IIntegración de Funciones Racionales mediante Fracciones Parciales: Caso 1: El denominador Q  x  es un producto de factores lineales distintos.
P x  Ak A1 A2  . . . . .  a 1 x  b1 a 2 x  b2 a k x  bk

Q x

Caso 2: El denominador Q  x  es un producto de factores lineales, algunos de los cuales están repetidos.
P x  Ak A1 A2  . . . . .  2 k a 1 x  b1  a1 x  b1   a 1 x b1 

Q x

Caso 3: El denominador Q  x  contiene factores cuadráticos irreductibles.
P x  Ax  B ax  bx  c
2

Q x

Caso 4: El denominador Q  x  contiene un factor cuadrático irreductible repetido.
P x  A1 x  B1 A2 x  B 2  2 ax  bx  c ax 2  bx  c . . . . .  Ak x  B k
2

Q x





2

 ax

 bx  c



k

Sustituciones de Racionalización:Mediante una sustitución apropiada, algunas funciones se pueden transformar en racionales y por consiguiente, integradas por alguno de los métodos vistos. En particular, cuando un integrando contiene una expresión de la forma n g  x  , entonces la sustitución u  n g  x  o u  g  x  puede ser efectiva. Estrategia de Integración. La integración es más desafiante que la derivación. Al...