Apuntes De C Lculo Diferencial NEFTAL ANT NES H

APUNTES DE CÁLCULO
DIFERENCIAL

NEFTALÍ ANTÚNEZ H.

CÁLCULO
Introducción
Issac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz son considerados como los
inventores del cálculo. El cálculo es la rama de las matemáticas que
estudia la variación de las funciones utilizando infinitesimos. Los
infinitesimos son cantidades infinitamente pequeñas. Mediante el
cálculo infinitesimal podemos encontrar los máximos ymínimos de
una función, áreas de regiones limitadas por curvas, rectas tangentes
y normales a la curva de la función, volúmenes de sólidos de
revolución, centros de gravedad y radios de giro, etc.
Mientras que el cálculo diferencial e integral surgió en el siglo XVII, el concepto de función vino a
conocerse un siglo despúes, y el limite, entendido de una manera formal y rigurosa, solo a finales delsiglo
XIX, lo cual difiere de la forma como se presenta actualmente el cálculo, en donde primero se enseñan
funciones, luego limites y finalmente derivadas o integrales. En la obra Introductio in Analysi Infinitorum,
Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que:
“Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada decualquier manera por esa
cantidad variable y por números o cantidades constantes''. Como puede observarse, esta definición
difiere de la que actualmente se conoce, pues siete años despúes, en el prólogo de su libro
afirmó:''Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras
también sufren cambio, entonces a las primeras se les llaman funciones de las últimas.Esta
denominación es bastante natural y comprende cada método mediante el cual una cantidad puede ser
determinada por otras. Asi, si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que
dependen de x en cualquier forma estan determinadas por x y se les llama funciones de x''.
FUNCIONES

La idea de función es importante no solo en matemáticas, sino en cualquier ciencia que deseeestablecer
nexos entre sus objetos de estudio, pues es una de las mejores formas de poner en correspondencia una
cantidad con otra. El universo esta lleno de objetos que se encuentran asociados con otros. De hecho
podriamos decir que a lo largo de la historia del hombre, en su deseo de interpretar el mundo, ha
establecido relaciones con los objetos que lo rodean. Sin embargo, paso mucho tiempo antes deque el
pudiera establecer una notación util para representar la dependencia de las características de un objeto y
otro.
En la vida diaria nos encontramos (a veces sin darnos cuenta) con la noción de correspondencia. Por
ejemplo, a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento, a cada libro le corresponde un número
de páginas, a cada objeto le corresponde un peso, a cada rectángulo lecorresponde un área, a cada
número no negativo le corresponde su raíz cuadrada, etc.
En cada uno de los ejemplos anteriores hay dos conjuntos D y C entre los que se dá la correspondencia.
En el primer ejemplo el conjunto D es el conjunto de personas y el conjunto C es el conjunto de fechas
(día, mes y año). En el segundo ejemplo el conjunto D es el conjunto de libros y el conjunto C es un
número entero (elnúmero de páginas).

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Estas correspondencias se ilustran a menudo mediante diagramas como el que sigue:

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada relación. Ciertos tipos especiales
de reglas de correspondencia se llaman funciones. Es decir, Todas las correspondencias son relaciones,
pero sólo algunas relaciones son funciones cuando cumplen conla definición, la cual se dá enseguida:
Función: Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal
manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un
elemento del segundo conjunto.

Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. Al segundo conjunto (el conjunto C) se le
da el nombre de contradominio, rango o imágen. El dominio es...