Apuntes Álgebra Lineal

“Fonaments Matem`tics de l’Enginyeria d’Edificaci´” a o

Tema II ` Algebra lineal

Equip Docent de la Secci´ EPSEB del Departament de o Matem`tica Aplicada I. Curs 2009-10 a

´ Index

3 Espais vectorials i transformacions lineals Coneixements previs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducci´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . o 3.1 Espais vectorials. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.2 Depend`ncia i independ`ncia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Subespai vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 2 2 6 9

Bases i dimensi´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 10 o Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Matrius i determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 Operacions amb matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Tipus de matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Determinants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 C`lcul del rang d’una matriu per determinants . . . . . . . . . . . . . . . 22 a Matriu inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3

Canvi de base en un espai vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 25 i

ii 3.3.1 3.4

´ INDEX Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Espai vectorial euclidi` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 a 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.4.7 3.4.8 Definici´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 o Norma associada a un producteescalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Expressi´ del producte escalar en una base . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 o Expressi´ matricial del producte escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 o Ortogonalitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Canvi de coordenades entre bases ortonormals . . . . . . . . . . . . . . . 36 Producte vectorial . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Transformacions lineals. Representaci´ matricial o 4.1 4.2 4.3 4.4

45

Definici´ i caracteritzaci´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 o o Matriu d’una aplicaci´ lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 o Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Sistemes d’Equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4.1 4.4.2 4.4.3 Definici´ de sistemes d’equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 o Classificaci´ dels sistemes d’equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . 55 o Exercicis . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5

M`todes num`rics de resoluci´ de sistemes lineals determinats . . . . . . . . . . 58 e e o 4.5.1 4.5.2 M`tode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 e Descomposici´ LU. M`tode de Crout i Dolittle . . . . . . . . . . . . . . . 59 o e

´ INDEX 4.5.3 4.6 4.7 4.8 4.9

iii Descomposici´ pel M`todede Txoleski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 o e

Canvi de base per a un endomorfisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Determinant d’un endomorfisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Exemples d’aplicacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....