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Distribución Muestral y Estimación

Distribución Muestral y Estimación
Una distribución muestral es la distribución de probabilidad de un
estimador o estadígrafo que resulta de considerar todas las muestras
posibles que pueden ser tomadas de una población. Es decir, si se
toman todas las muestras posibles en una población y se obtienen los
diferentes valores para un estimador y su respectivaprobabilidad, a
esta distribución que se forma es lo que se denomina Distribución
Muestral.
La importancia de conocer la distribución muestral de un estadígrafo es
que esta permite el proceso de inferencia del mismo. Dado que casi
nunca es posible tomar todas las muestras posibles de una población
dada, conociendo la distribución muestral del estimador se puede hacer
la inferencia del mismo a partirde una sola muestra. Con el estudio de
la distribución muestral se puede calcular la probabilidad que se tiene,
dada una sola muestra, de acercarse al parámetro de la población. De
igual forma mediante la distribución muestral se puede estimar el error
para un tamaño de muestra dado. La fórmula para la distribución
muestral dependerá de la distribución de la población, del estadístico y
del tamañode la muestra
Los principales parámetros y su respectivo estimador o estadígrafo se
muestran a continuación:

Parámetro
µx
σ2
σ
P0
N

Significado

Estadígrafo

Media Poblacional
Varianza Poblacional
Desviación Estándar Poblacional
Proporción de éxitos
En la Población
Población

X

S2
S
px
n

Un aspecto importante en el estudio del comportamiento de una
variable aleatoria lo constituye del Teoremadel Límite Central, el cual
establece que sin importar la forma que tenga una variable aleatoria, en
la medida que se incrementa el tamaño de la muestra, dicha variable
tiende a tener forma de una distribución normal con media µ y varianza
σ2. La importancia del teorema es que cualquier estimador que sea de
interés se pueden obtener las diferentes probabilidades a partir de una
distribuciónnormal.
Distribución Muestral del promedio, ( X

)

El promedio o media aritmética es la medida de tendencia central que
más se usa, pues es la única entre estas que posee una serie de

Elaborado por Héctor Medina Disla. Junio 2009

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característica que la hacen ser la única medida de tendencia central
que soporta un proceso de inferencia estadística. Entre estascaracterísticas están:
1. (Xi – X ) = 0
2. (Xi – X )2 < (Xi – A)2 para todo A ≠ X
Para conocer las bondades del promedio muestral como estimador del
promedio poblacional, suponga que una empresa tiene una población
de seis empleados, Alberto, Bélgica, Carlos, Dinorah, Eduardo y Flavia y
pregunta sobre el número de hijos/as y obtiene los siguientes datos:
Alberto tiene tres, Bélgica tiene dos,Carlos cuatro, Dinorah dos,
Eduardo tiene cuatro y Flavia tres. El promedio de hijos/as de esta
población es



Xi

3 2 4243
, es decir que el promedio de esta
N
6
población es de 3.0 hijos/as.

x 



Ahora suponga que tomamos todas las muestras posibles tamaño dos,
de esta población y que se calcula el promedio en cada una de ellas. De
esta población se pueden obtener 15 muestras diferentesy las muestras
y su respectivo promedio se muestra en la tabla siguiente:
Muestra Promedio Muestra Promedio Muestra Promedio
A, B
2.5
B, C
3.0
C, E
4.0
A, C
3.5
B, D
2.0
C, F
3.5
A, D
2.5
B, E
3.0
D, E
3.0
A, E
3.5
B, F
2.5
D, F
2.5
A, F
3.0
C, D
3.0
E, F
3.5
Con los datos obtenidos se consigue la siguiente distribución de
probabilidad para el promedio muestral, ( X )

X i* P( X i)
Xi
No. P( X i)2.0
1
0.07
0.13
2.5
4
0.27
0.67
3.0
5
0.33
1.00
3.5
4
0.27
0.93
4.0
1
0.07
0.27
Suma
15
1.00
3.00

Elaborado por Héctor Medina Disla. Junio 2009

Con
esta
distribución
de
probabilidad se puede obtener el
valor esperado para el promedio
muestral, recordando que el valor
esperado es E( X ) = Σ X i* P( X i),
luego
E( X ) = (2.0*0.07) + …. + (4.0* 0.07)
E( X ) = 3.0 hijos/as

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Distribución...