Area de matematicas

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CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

LOS NUMEROS NATURALES ( N )
El conjunto de los números naturales N = { 1‚ 2‚ 3‚ 4‚ 5‚ … } surgió de la necesidad de contar.
El conjunto de los números naturales cumple las siguientes propiedades.
Es un conjunto que tiene primer elemento pero no tiene último elemento.
El conjunto de los naturales posee infinitos elementos.
Es un conjunto ordenado.
Todonumero natural‚ excepto el cero‚ tiene un antecesor.
El conjunto de los N es discreto. (Entre dos números naturales consecutivos no existe otro natural).
Su representación grafica es:
En el conjunto de los números naturales (N) ‚ están bien definidas las operaciones de adición‚ multiplicación y potenciación‚ es decir siempre son posibles de realizar en el conjunto N.
Simbólicamente:
Si a‚b € N ‚entonces a +b € N.
Si a‚b € N ‚ entonces a x b € N.
Si a‚n € N ‚ entonces an € N.

LOS NUMEROS ENTEROS (Z )
La solución de la ecuación X + 2 = 0 es X = -2 pero -2 no es un numero natural. Por esta razón‚ es necesario agregar los números …-4‚ - 3‚ - 2‚ - 1‚ 0 a los naturales para obtener el conjunto Z de los números enteros:
Z = { … -4‚ -3‚ -2‚ -1‚ 0 ‚ 1‚ 2‚ 3‚4‚ …}
Los números enteros Z pueden ser positivo‚ negativo ó 0. Esto es:
Z+= { 1‚ 2‚ 3‚ 4‚ 5‚ …} = N
Z- = {…-4‚ -3‚ -2‚ -1}
Entonces el conjunto de los números enteros (Z ) se define como la unión entre los Z+ con los Z- y el cero
Z= Z+ U Z- U {0}
Propiedades del conjunto de los números enteros (Z)
Tiene infinita cantidad de elementos.
No tiene ni un primer ni un últimoelemento.
Todo entero tiene un antecesor y un sucesor.
Los números enteros no completan la recta numérica.
Su representación grafica es:

En el conjunto de los enteros queda bien definidas las operaciones de adición‚ sustracción‚ multiplicación y potenciación de base entera y exponente natural.
La división de enteros se puede efectuar solamente cuando el dividendo es múltiplo del divisor (divisiónexacta).

LOS NUMEROS RACIONALES (Q )
Las ecuaciones de la forma ax = b‚ solo tienen solución en Z cuando ¨b¨ es múltiplo de ¨a¨ si queremos que estas ecuaciones tengan siempre solución es necesario construir un nuevo conjunto numérico‚ el cual se denomina CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES (Q)
Este conjunto está constituido por todos los números que pueden escribirse en la forma a/ b‚ dondea‚ b € Z y a ≠ 0‚ es decir:
Q = { x/ x = a / b ‚ con a‚ b‚ € Z‚ a ≠ 0 }
Propiedades del conjunto de los números racionales Q.
Tiene infinita cantidad de elementos.
No tiene ni un primer ni un último elemento.
Entre dos números racionales existe infinita cantidad de números racionales.
Ningún número racional tiene sucesor ni antecesor.
Los números racionales no completan larecta numérica.
A todo número racional se le puede hacer corresponder un punto de la recta‚ pero no necesariamente todo punto de la recta corresponde a un número racional.
Se cumple que N С Z C Q.
Todo número racional se puede expresar como un número decimal‚ efectuando la operación de división del numerador por el denominador. Después de realizarla puede suceder que se obtenga como resultado:Una expresión decimal exacta.
Una expresión decimal periódica pura.
Una expresión decimal periódica mixta.
Ejemplos:
1. Convertir 4/5 y 9/10 en números decimales.
2. Convertir 8/11 y 4/3 en números decimales.
3. Convertir 22/12 y 8 /15 en números decimales.

Existen números decimales de infinitas cifras en la que ningún conjunto de ellas se repite periódicamente y que no sepueden representar de la forma a/b con a‚ b € Z ‚ y b ≠ 0. Por ejemplo: 3.15793120… ; 1.4142135… estas cantidades se llaman NUMEROS IRRACIONALES.
NUMEROS IRRACIONALES ( I )
Surgen de los números decimales infinitos no periódicos. Al ubicarlos en la recta numérica la completan.
Son los números que no se pueden expresar de la forma a/b‚ con a‚ b € Z‚ b ≠ 0 es decir‚ como un número...
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