Area Debajo De Una Parabola

ÁREA DEBAJO DE LA PARÁBOLA

Dividamos el segmento [0,1] en n segmentos iguales y consideremos los rectángulos inscriptos debajo de la curva, que tienen como basecada uno de esos segmentos. Las abscisas de los puntos que dividen al segmento [0,1] son: 0, Para estos rectángulos se cumple lo siguiente: • • la medida de la base detodos ellos es 1 2 i n−1 , ,… , ,… , n n n n

1 . n 1 2 i n−1 ,f ,… , f ,… , f las alturas de cada uno son: f (0), f n n n n

() ()

()

( )

La suma de lasáreas de los rectángulos (que llamaremos suma inferior) puede calcularse mediante la siguiente fórmula, dependiente de la cantidad n de divisiones: n−1 i 1 an = ∑ f · n ni=0

()

1 es un factor que aparece en todos los términos, podemos ponerlo como un factor común, n fuera de la sumatoria: n−1 1 i an = · ∑ f n i=0 n Como

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Lafunción que estamos considerando en este caso es la parábola dada por f (x ) = x 2 , por lo i i2 = 2 , así que: que f n n n−1 2 1 i an = · ∑ 2 n i=0 n 1 y nuevamente,como 2 es un factor que aparece en todos los términos, nos queda: n n−1 1 an = 3 · ∑ i 2 n i=0

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Prof. Pablo Ferrari

Por otro lado, se puede demostrar que:1n−1 i=0

∑ i2
Así que: an = Con lo que nos queda:

=

n(n−1)(2 n−1) 6

(n−1)( 2 n−1) 1 n( n−1)(2 n−1) · = 3 6 n 6 n2 2 n 2−3 n+1 6 n2

an =

Finalmente,podemos decir que el límite de an es el área de la superficie que queda debajo de la parábola. Por lo tanto: 2 n 2−3 n+ 1 2 3 1 1 Área = lím a n = lím = lím − + 2 = 2 6 6n 6n 3 6n Es decir: Área = 1 3

1 La demostración de esta igualdad puede hacerse por inducción completa, y queda como ejercicio.

Prof. Pablo Ferrari