Area Entre Curvas Volumen De Un S Lido

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA
NÚCLEO BARINAS
Contenido: Integral definida: (1º) Aplicación: Área entre dos curvas.
Matemática II –Sección F –Semestre 2 Lcdo Eliezer Montoya
En los problemas 1 al 12 .Representar la gráfica de cada función y hallar el área entre
la gráfica y el eje xcon respecto las rectas x = a y x = b
1. f ( x) = 1 − x 2 ;
a = −1, b = −1
Sol:A=4/3ua
5. G ( x ) = x 3
a = −2, b = 2
Sol.A = 8ua

2. g ( x) = x 2 − 2 ;
a = 0, b = 1
6. H ( x) = x 2 − 6 x + 5
a = 1, b = 3

(x − x ) ;
f ( x) =
3

9.

a = −1, b = 2

3

10. f ( x) = x n ;
a = 0, b = 1
donde n ≥ 1

3. h( x) = x 3 − x
a = −1, b = 1
Sol. A=1/2 ua
7.
f ( x) = x 3 − 4 x 2 + 3 x
a = 0, b = 2
Sol. A=3/2 ua11. f ( x) = sin 2 x ;
a = 0, b =

π

2
Sol. A= 1 ua

4. F ( x) = x 2 − 9
a = −3, b = 3
Sol. A =36 ua
8. g ( x) = x3 − 6 x 2 + 8 x
a = 0, b = 4
Sol.A = 8 ua
x
12. g ( x) = cos ;
3
a = 0, b = π

En los problemas 13 al 21 (a) Hallar los puntos de intersección de las dos graficas. (b)
Trazar la gráfica de las dos ecuaciones (c) Hallar el área de la región formada por las
dos gráficas
13. f ( x) = x 2y g ( x) = 2 x + 5

4
2
15. f ( x) = − x − 4 y g ( x) = −8
17. f ( x) = − x 2 + 4 x y g ( x) = x 2
19. y 2 = 3 x
y y=x

14. y = x

y 7 x − 2 y = 20
4
16. f ( x) = x3 y g ( x) = x
18. x = ( y − 2) 2 y x = y
20 x = 6 y 2 − 3 y x + 3 y = 0

21. f ( x) = cos ( x ) y g ( x) = 1 − cos ( x ) para −

Lcdo. Eliezer Montoya

2

π
3

≤x≤

π
3

ver grafico adjunto

Aplicaciones de la Integral Definida

Mayo2010

En los problemas del 22 al 26. (a) Representar la grafica de la función f (conocida como
función por partes o a trozos) (b) Hallar el área entra la gráfica de f el eje x desde
x= a hasta x = b y hallar

∫

b

a

f ( x)dx

 x3
para − 2 ≤ x ≤ 1

 x
para 1 < x ≤ 4
22. f ( x) = 
; a = −2 y b = 12
10 − 2 x para 4 < x ≤ 7
2 x − 18 para 7 < x ≤ 12


∫

Sol.A= 323/12 unidades de área y
− x− 3

23. f ( x ) =  x 2 + 2 x − 1
2


 x2 + 6 x − 7

24.- f ( x ) = − x 2 − 4 x + 5
 x−5


a

f ( x)dx =35/12

para − 5 ≤ x < −2
para -2 ≤ x ≤ 1
para 1 < x ≤ 4

; a = −5 y b = 4

para − 7 ≤ x ≤ −6
para - 6 < x ≤ 0

∫

b

a

f ( x)dx =130/3

para − 3 ≤ x ≤ −2
para -2 < x ≤ 0
para 0 < x ≤ 4

; a = −3 y b = 6

para 4 < x ≤ 6


x3
2
+
para − 2 ≤ x ≤ 0

 2 4
26.- f ( x) =  x − x − 2
para 0< x ≤ 3
16 − 4 x
para 3 < x ≤ 5


Sol A = 73/6 unidades de área y

Lcdo. Eliezer Montoya

; a = −7 y b = 8

para 0 < x ≤ 8

Sol. A= 34/6 unidades de área y

 x x2 − 4
 2
− x
25.- f ( x ) = 
3 − x

 2x +1

b

∫

b

a

; a = −2 y b = 5

f ( x)dx =3/2

Aplicaciones de la Integral Definida

Mayo 2010

Ayuda para el estudiante , graficas elaborada con un software funciones para Windows
ygraphmatics
Para el problema 20-Ver problema J Larson de calculo con geometría analítica) (466467) tomo I
20. x = 6 y 2 − 3 y x + 3 y = 0

18. x = ( y − 2) 2 y

x=y

Lcdo. Eliezer Montoya

Aplicaciones de la Integral Definida

Mayo 2010

14.- y = x

2

4

y

7 x − 2 y = 20

16. f ( x) = x 3 y g ( x) = x

Lcdo. Eliezer Montoya

Aplicaciones de la Integral Definida

Mayo 2010

15. f ( x) = − x 2 − 4y g ( x) = −8

17. (a) y 2 = 3x ⇒ y = 3 x

Lcdo. Eliezer Montoya

y

y=x

Aplicaciones de la Integral Definida

Mayo 2010

(b) y 2 = 3 x ⇒ x =

y2
y
3

x =y

13 f ( x) = x 2 y g ( x) = 2 x + 5

Lcdo. Eliezer Montoya

4

Aplicaciones de la Integral Definida

Mayo 2010

Ejemplo 01
Con la ayuda grafica, calcula el área limitada por y = x 2 − 7 x + 10 y el eje x

Verifiquemos las raíces vistas enel gráfico
x 2 − 7 x + 10 = 0

x = 5
( x − 5)( x − 2) = 0 ⇒ Las raices son:  1
 x2 = 2
Son los límites de integración a usar, por tanto la integral a desarrollar es:
5
5
x3 7 2
53 − 23 7(52 − 22 )
2
A = ∫ ( x − 7 x + 10 ) dx = − x + 10 x =
−
+ 10 ( 5 − 2 ) =
3 2
3
2
2
2
117 147
234 − 441 + 180 −27 −9
−
+ 30 =
=
=
= −4,5u.a
3
2
6
6
2
5
−9
∴ ∫ ( x 2 − 7 x + 10 ) dx =
u.a
2
2
=

Ejemplo 2...