Area Y Volumen

UN MEDIO POTENTE DE
INVESTIGACION EN LAS
MATEMATICAS, FISICA,
MECANICA ECONOMIA
Y OTRAS RAMAS DE LA
CIENCIA ES LA :

INTEGRAL
DEFINIDA

RESEÑA
HISTORICA

• Newton-Leibniz, proponen
un método muy práctico
para el cálculo de integrales
definidas , cuando se conoce
la función primitiva del
integrando.
• Exactamente el descubrimiento
de esta fórmula le dio a la
integral definidala importancia
que esta tiene hoy día en las

MATEMATICAS

CALCULO
DEL AREA
DE UNA
REGION

PRELIMINARES.
Sea
d

I=[a,b], J=[c,d]
Se llama Región
rectangular al
conjunto ℜ

ℜ
c
a

ℜ =[a,b]x[c,d]
ℜ={(x,y)/a ≤ x≤ b,c≤

b

A(ℜ) =(b-a)x(d-c)
y ≤ d}

Area de la Región ℜ

Sea f(x) una función continua y positiva en [a,b]
ℜ1 Región Inscrita
ℜ1 =[a,b]x[0,f(a)]
A(ℜ1)=(b-a)xf(a)

ℜ1

f(a)
a

b

ℜ2 Región Circunscrita
ℜ2 =[a,b]x[0,f(b)]
A(ℜ2) =(b-a)xf(b)

f(b)

ℜ2
a

b

Construcción de regiones poligonales en [a,b]
Sea f(x) función continua y positiva en [a,b]
ℜ Region Poligonal
Inscrita
ℜ = ℜ1∪ ℜ2∪ ......∪ ℜn
A(ℜ)=A(ℜ1 )+....+A( ℜn)

ℜn
ℜ1

a

ℜi

x1

xi

b

n

A(ℜ)=∑ (xi-xi-1 )f(xi )
i=1

Suma de Riemann

Areade la región
Poligonal Inscrita

Región bajo la grafica
de una función

El problema es
calcular el Area de ℜ

Sea f(x) función continua
y positiva en [a,b] , se
llamara Región bajo la
grafica de f(x) a ℜ

ℜ={(x,y)/a≤ x≤ b,0≤ y≤f(x)}
Sí f(x)0

ℜ
a

b

A ℜ se llama tambien Región
limitada por: las rectas x=a ,
x=b , el eje X y la grafica de f(x)

CALCULO DEL AREA DE UNAREGION
Area de la Región bajo la grafica de una función
DEFINICION. Sea f(x) una función continua
y positiva en [a,b],se define el Area de la

Región ℜ bajo la grafica de f(x)
como :
n

b

A(ℜ) = lim ∑ f ( xi )Δxi = ∫ f ( x)dx = F ( x)
P →0

i =O

a

b
a

Procedimiento para calcular el Area bajo la
Y
grafica de una función continua en [a,b]
1°) Averiguar si f(x)>02°)En[a,b],sea la partición donde
P
xi=a+i(b-a)/n y Δxi= (b-a)/n

P
1

P2

o

Pi P i

P Pnn- b(b,
1
f(b)

-1

3°) Evaluar xi en f(x),osea f( xi)
4°) formar la suma de
n
Riemann
∑ f( x ) Δx
i

i=1

i

n

X
a= x1x2. ........... xi- x
1
i
xo

5°) Calcular lim ∑∑x ) iΔx) i
calcular ∑
fi
5°) calcular limlimf(f( ix()xΔixΔxi = A(R)
n→∝

i=1

xn xn-b
-1

Ejemplo:Hallar el área de la región bajo la
grafica de f(x) =x+1 en [0,3]
SOLUCION.
Hallaremos el Area de 3
formas diferentes
4
f(x) =x+10

1) Area de un trapecio

1

2) Por sumatoria
0

3

3) Por la integral definida

Area de un trapecio

SOLUCION.
1) el area del trapecio es :
A(T)= (1+4)3 = 1 5
2
2

4
f(x) =x+1

base

1
base
0

3
Altura

Por sumatoria

Solución1 ° ) f (x

)=

2 °)Δ x =

x + 1 ≥ 0 , x ∈ [0 , 3 ]

3−0
3
=
n
n

x i = a + iΔ x ⇒ x i
3 °) f ( xi ) =

3
=
i
n

3i
+1
n

⎛ 3i
⎞3
+ 1⎟
4 °)∑ f ( xi )Δ x = ∑ ⎜
i=1
i=1 ⎝ n
⎠n
n
⎡ n ⎛ 9i ⎞
⎛ 3 ⎞⎤
5 ° ) lim ⎢ ∑ ⎜ 2 ⎟ + ∑ ⎜
⎟⎥
n→ ∞
i=1 ⎝ n ⎠ ⎦
⎣ i=1 ⎝ n ⎠
3n ⎞
⎛9 n
= lim ⎜ 2 ∑ i +
∑ 1⎟
n→ ∞
n i=1 ⎠
⎝ n i=1
n

n

3⎤
⎡ 9 (n )( n + 1 )
= lim ⎢ 2
+n⎥
n→ ∞
2
n⎦
⎣n
15
9
=
+ 3∴ A(R ) =
u2
2
2

Por la integral definida
Ejemplo: Hallar el área de la región bajo la
grafica de f(x) =x+1 en [0,3]
4

P1
Po =x+10 P2
f(x)

SOLUCION.
Qi-1

Qn-1

Qi

2

3
x
A(ℜ ) = ∫ ( x + 1)dx =
+x
0
2
0
3

1

X
3
0
15
x
= xi + 3 − n-1 −x0 =
n-b
2
2
2
2

0 = xo
a

x1 x2. ...........
3

2

Hallar el áreadela Región
Limitada por las 3 Funciones
• F(x)=2x-3
• G(x)=2x+1
• H(x)=3-(x-1)2

G
r
a
f
i
c
a
n
d
o

g(x) =2x +1
f (x) =2x −3

−5

h(x) =3−(x−1)

2

(−

5,−2 5 −3

)

PRELIMINARES.
Segmento AB.Es
la diagonal del
rectangulo
[a,b]x[c,d]

B

d

cA

Longitud del
Segmento
AB=d(A,B)

a

d(A,B) = (b-a)2+(d-c)2
Longitud de AB

b

Sea f(x) una...