Area

El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.
* Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el árealateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición matemática necesaria para que una superficiesea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.
* Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso.Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie derevolución.
Una superficie de revolución generada por una tramo de la curvay=2+cos x rotada alrededor del eje x.
Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar un curva planao generatrizalrededor de un eje directriz, la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girarconforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

Ejemplosparticulares de superficies de revolución son:
* El área de esfera de radio R que viene dada por 
* El área de un cono de radio R y de altura h viene dada por 
* El área lateral de un cilindro deradio R y altura h es simplemente 
Cálculo general de áreas
Mediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría riemannianapuede calcularse el área de cualquier superficiecurva finita. Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dada una región Ω contenida en una superficie su área resultar ser:

De manera un poco más general si...