areas y distancias

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELL´
IN
C´lculo Integral
a
SEMESTRE 02-2013
CLASE # 1

Integrales
´
5.1. Areas y distancias.
Operador sumatoria. Propiedades. Algunas sumatoriascomunes
Por definici´n
o

→ indica terminar en i = n
→ suma
→ indica que comienza en i = m

n
i=m
Por ejemplo
4

6

4

i3 = 33 + 43 + 53 + 63

ai = a1 + a2 + a3 + a4
i=1
3

2j =21 + 22 + 23 + 24

i=3

j=1
5

1
i

−

1
i+1

= 1−

1
2

+

1
2

−

1
3

1
3

+

−

1
4

=

3
4

f (xi ) = f (x2 ) + f (x3 ) + f (x4 ) + f (x5 ).

i=1i=2

Propiedades
n

n

n

c = nc

cai = c

i=1

i=1

n

ai

n

n

(ai + bi ) =

i=1

i=1

ai +
i=1

bi
i=1

Por ejemplo
18

18
2

4

(i + i ) =
i=1

4i +
i=1

7

18
2

5

3 = 3 · 7 = 21

i

3ai = 3

i=1

i=1

5

i=1

ai
i=1

Algunas sumatorias comunes
n

i=
i=1

n(n + 1)
2

n

i2 =
i=1

n

n(n + 1)(2n +1)
6

i3 =
i=1

n(n + 1)
2

2

.

Ejemplos.
15

•

i=
i=1

15(16)
= 120.
2

n

n

2 i
− 1 = lim
n→∞
n→∞
n n
i=1
i=1

• lim

2
2
i−
2
n
n

n

= limn→∞

n

2
2
2 n(n + 1)
i−
1 = lim 2
− 2 = −1.
2
n→∞ n
n i=1
n i=1
2

El problema del ´rea
a
Pensemos que queremos calcular el ´rea de la regi´n sombreada en la siguiente figura;abreviadamente,
a
o
a
´rea bajo f, x ∈ [a, b] , donde f es continua y f ≥ 0

1

Por ahora s´lo conocemos el ´rea de figuras geom´tricas sencillas tales como poligonos.
o
a
e
Para empezar consideremosun caso particular: queremos hallar el ´rea bajo la curva determinada por
a
f (x) = x3 , para x ∈ [0, 1] . La idea ser´ dividir la regi´n en franjas verticales y aproximar cada franja por
a
o
unrect´ngulo.
a
1
3
Dividimos [0, 1] = 0, 4 ∪ 1 , 1 ∪ 1 , 3 ∪ 4 , 1 y construimos los rect´ngulos como se indica en la figura:
a
4 2
2 4

Una primera aproximaci´n del valor del ´rea...