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Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe laclasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.
Considérese una función f(x), de variable real x, definida para todo valor de x excepto posiblemente para un cierto valor x0. Es decir, f(x) está definida para x < x0 y para x > x0. Definamos también:
* el límite por izquierda en x0, es decir, el límite al aproximarse al valor x = x0 mediante valoresmenores a x0, como:

* el límite por derecha en x0, es decir, el límite al aproximarse al valor x = x0 mediante valores mayores a x0, como:

En estas condiciones, pueden darse tres posibilidades:
1. Los límites L − y L + existen en x = x0, son finitos y son iguales. En este caso, se dice que x0 es una discontinuidad evitable (o removible) o una discontinuidad que puede salvarse.
2. Loslímites L − y L + existen y son finitos, pero no son iguales. En este caso, se dice que x0 es una discontinuidad por salto.
3. Al menos uno de los límites L − y L + no existe o es infinito. En este caso, se dice que x0 es una discontinuidad esencial.
Contenido[ocultar] * 1 Discontinuidades. Tipos * 1.1 Discontinuidad evitable * 1.2 Discontinuidad de primera especie * 1.3Discontinuidad de segunda especie * 2 Ejemplos |
Discontinuidades. Tipos [editar]
Discontinuidad evitable [editar]
Se dice que f(x) presenta una discontinuidad evitable en x = a si y es finito. Si ocurre eso puede que, f(a) no exista o que f(a) exista pero
Discontinuidad de primera especie [editar]
En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:
* Que existan y pero que no seaniguales. A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito. Y el salto viene dado por:

* Que existan y pero que uno sea finito y otro infinito. A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto infinito.
* Que existan y pero que los dos sean infinitos. A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x = ala asíntota.
Discontinuidad de segunda especie [editar]
Al menos uno de los límites laterales no existe.
límites L − y L + no existe o es infinito. El limite laterales es lo mismo que no exista o sea infinito en una variable.
Ejemplos [editar]

Función del ejemplo 1, f1(x): una discontinuidad evitable.
* 1. Sea la función

El punto x0 = 1 es una discontinuidad evitable. Esta funciónpuede hacerse contínua simplemente redefiniendo la función en este punto para que valga f1(x0) = 1.

Función del ejemplo 2, f2(x): una discontinuidad por salto.
* 2. Sea la función

El punto x0 = 1 es una discontinuidad por salto.

Función del ejemplo 3, f3(x): una discontinuidad esencial.
* 3. Sea la función

El punto x0 = 1 es una discontinuidad esencial, para lo cual hubiesebastado que uno de los dos límites laterales no exista o sea infinito (en este caso se cumple para ambos límites laterales: para el límite por izquierda y para el límite por derecha).
* 4. Funciones que no son continuas en ninguna parte
Existen funciones que no son continuas en ningún punto. La más conocida es la función característica de Q, es decir la función que toma como valor 1 cuando xpertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no.
Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y= 0, y una infinidad (menor) de puntos en la recta y= 1.
* 5. Discontinuidad evitable
Una función presenta un punto de Discontinuidad evitable si en ese punto se cumple que:
1.
2.
Pueden ser transformadas en otra función continua,...