As de la manga 34

1 - DISSENY I PROPORCIÓ
PROPORCIÓ
La teoria de la proporció s’ha aplicat a les piràmides egípcies, edificis de la Grècia clàssica, pintures
de Leonardo da Vinci i escultures de Miguel Àngel. La intenció d’aquests autors era aconseguir un
efecte visual agradable.

TEOREMA DE TALES
Una de les primeres aplicacions de la proporció. La va fer Tales de Milet (s. IV a.C.)

Dos triangles sónsemblants si tenen els angles
corresponents iguals i els seus costats són
proporcionals entre sí.
Si a un triangle es traça una línea paral·lela a
qualsevol dels seus costats, s’obtenen dos
triangles semblants.

DEFINICIÓ DE LA PROPORCIÓ
La proporció de dos nombres positius a i b es defineix com el quocient del més gran entre el més
petit.
La proporció d’un rectangle seria el costat mésgran dividit entre el costat més petit.

PROPIETATS DE LA PROPORCIÓ
-

La proporció és sempre igual o més gran que 1. Els quadrats tenen proporció 1. Si la
proporció és més gran ens indica que és un rectangle.
La proporció no depèn de la posició d’un rectangle, sinó del costat més gran entre el
costat més petit.
La proporció és invariable a reduccions o ampliacions . Si multipliquem elscostats a i b
d’un rectangle per una constant positiva k s’obté un rectangle de la mateixa proporció.
Dos rectangles amb la mateixa proporció, les seves diagonals se sobreposen

AMPLIACIONS I REDUCCIONS DE LA PROPORCIÓ
Dividirem la quantitat per 100.
Si volem fer una ampliació del 200% haurem de multiplicar les longituds per 2
Si volem fer una ampliació del 150% haurem de multiplicar leslongituds per 1,5
Si volem fer una reducció del 50% haurem de multiplicar les longituds per 0,5

RECTANGLES RECÍPROCS

Els rectangles són recíprocs perquè:
Tenen la mateixa proporció.
La cara més gran d’un és la més petita de
l’altre.

PROPORCIONS RACIONALS
S’anomena proporció racional, si en calcular una proporció s’obté un nombre que es pot
expressar com a quocient de nombres enters.
Lesmés usuals són 2/3 i 3/4
Un rectangle és racional si podem construir una quadrícula que s’hi adapti ben bé. Si construïm
directament un rectangle sobre una quadrícula, segur que la proporció és racional.
Pitàgores va descobrir proporcions racionals en l’escala musical, els arquitectes han usat aquestes
proporcions en les mides d’unes rajoles, separació entre columnes d’una catedral o ladivisió d’una
finestra per a distribuir-hi els vidres, també en un tríptic publicitari.
MESURES COMMENSURABLES – Són les mesures que es poden mesurar, com per exemple els
segments de longituds racionals
MESURES INCOMMESURABLES – Són les mesures que no es poden mesurar, com √2 o com el
nombre π = 3,1415926535897932384626433832795...

PROPORCIONS DEL TIPU S √N
Els rectangles de proporció √n sónels únics que, en retallar-los en rectangles iguals s’obtenen
rectangles amb la mateixa proporció √n.
Les més usuals són √2, √3 i √5.

Si tenim un rectangle de proporció √2 , en dividir-lo per la meitat pel costat més gran, obtenim
dos rectangles que també tenen proporció √2.
-

-

Els rectangles de proporció √2 s’han fet molt comuns gràcies a la família de fulls DIN A.
Tots els fullsd’aquesta sèrie han de tenir proporció √2.
Les mides són : A0 (841x1189mm), A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9. A10 (26x37mm)
El nombre √2 apareix com la diagonal d’un quadrat de costat 1

Un rectangle de proporció √3, en dividir-lo en tres iguals per talls paral·lels al costat més petit,
proporciona tres rectangles de proporció √3.
-

El nombre √3 apareix com la longitud del costat d’untriangle inscrit en una circumferència
de radi 1.
També com la distància entre els dos punts d’intersecció de dues circumferències de radi 1
quan cadascuna passa pel mig de l’altra.

Exemples: Tenim un rectangle amb un costat petit 5. Volem saber quina mida ha de tenir el costat
que falta perquè el rectangle tingui proporcions √2, √3 i √5. Apliquem la regla de les proporcions
en la que el...