asasas

CÁLCULO
DIFERENCIAL
MATERIAL DE CONSULTA
Unidad 1

Datos de catalogación bibliográfica
THOMAS, JR., GEORGE B.
Cálculo. Una variable. Undécima edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006
ISBN: 970-26-0643-8
Área: Universitarios
Formato: 21 × 27 cm

1.1

Páginas: 824

Los números reales y la recta real
Esta sección trata de los números reales, las desigualdades, los intervalos y laspropiedades del valor absoluto.

Números reales
Gran parte del cálculo se basa en las propiedades del sistema de números reales. Los números reales son aquellos que pueden expresarse como decimales, por ejemplo
22 = 1.4142 Á
-

3
= - 0.75000 Á
4
1
= 0.33333 Á
3

En cada caso, los puntos suspensivos … indican que la sucesión de dígitos decimales continúa indefinidamente. Cualquierexpansión decimal posible representa un número real,
aunque algunos números tienen dos representaciones. Por ejemplo, los decimales infinitos
.999… y 1.000… representan el mismo número real, 1. Una afirmación similar es válida
para cualquier número con una infinita fila de nueves.
Los números reales pueden representarse geométricamente como puntos sobre una
recta numérica, llamada recta real.–2

–1 – 3
4

0

1
3

1 ͙2

2

3␲

4

El símbolo ‫ ޒ‬denota tanto al sistema de números reales como a la recta real.
Las propiedades del sistema de números reales se clasifican en tres categorías: propiedades algebraicas, propiedades de orden y propiedad de completez. Las propiedades
algebraicas establecen que los números reales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y
dividirse(excepto entre 0) para obtener más números reales bajo las reglas usuales de la
aritmética. No es posible dividir entre 0.

1

2

Capítulo 1: Preliminares

En el apéndice 4 se dan las propiedades de orden de los números reales. A partir de
ellas pueden obtenerse las siguientes reglas útiles, donde el símbolo Q significa “implica”.

Reglas para desigualdades
Si a, b y c son númerosreales, entonces:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

a 6 b Q a + c 6 b + c
a 6 b Q a - c 6 b - c
a 6 b y c 7 0 Q ac 6 bc
a 6 b y c 6 0 Q bc 6 ac
Caso especial: a 6 b Q -b 6 - a
1
a 7 0 Q a 7 0
Si tanto a como b son ambos positivos o ambos negativos, entonces
1
1
6 a
a 6 b Q
b

Tenga en cuenta las reglas para multiplicar una desigualdad por un número. Al multiplicar
por un número positivo seconserva el sentido de desigualdad; cuando se multiplica por un
número negativo el sentido de desigualdad cambia. Por otro lado, tomar recíprocos invierte el sentido de desigualdad cuando los números son del mismo signo. Por ejemplo, 2 6 5
pero - 2 7 - 5 y 1>2 7 1>5.
En el caso del sistema de números reales, la propiedad de completez* es compleja y
difícil de definir con precisión; sinembargo, es esencial para comprender el concepto de
límite (capítulo 2). A grandes rasgos, la propiedad de completez afirma que hay suficientes números reales para “completar” la recta real, en el sentido que no haya “vacíos” o “faltantes” o huecos en ella. Si el sistema de números reales no cumpliera con esta propiedad,
muchos teoremas de cálculo carecerían de validez. Por conveniencia, el tema sedeja para
un curso más avanzado, pero el apéndice 4 da una idea de sus implicaciones y de cómo se
construyen los números reales.
Entre los números reales pueden distinguirse tres subconjuntos especiales.
1.

Los números naturales, digamos 1, 2, 3, 4, . . .

2.

Los números enteros, como 0, ;1, ;2, ;3, Á

3.

Los números racionales, es decir, aquellos que pueden expresarse como unafracción
m/n, donde m y n son enteros y n Z 0. Por ejemplo

200
57
1
-4
4
4
, - =
=
,
, y 57 =
.
3
9
9
-9
13
1
Los números racionales son precisamente los números reales con expansiones decimales, que son
(a) finitas (terminan con una secuencia infinita de ceros), por ejemplo
3
= 0.75000 Á = 0.75
4

o

(b) periódicas (terminan con un bloque de dígitos que se repite una y...