asi es

Análisis de Datos I

Esquema del Tema 16

Tema 16: Modelos de distribución de
probabilidad: Variables Continuas

1. EL MODELO RECTANGULAR

2. EL MODELO NORMAL, N(μ, σ)

3. MODELO CHI-CUADRADO DE PEARSON, χ2k

4. MODELO t DE STUDENT, tk

5. MODELO F DE SNEDECOR,

p

Fm,n

__________________
Bibliografía: Tema 12 (pág. 303-320) y apéndice final con tablas

Carmen Ximénez1

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Esquema del Tema 16

La mayor parte de las variables continuas también tienen asociada su función de densidad de
probabilidad y su función de distribución. En algunos casos se ajusta a un modelo teórico.
Aquí veremos cinco modelos para variables continuas.

1. EL MODELO RECTANGULAR
Es la equivalente a la distribución uniforme de las variables discretas. Portanto, una
variable aleatoria se ajusta a este modelo si todos los valores con probabilidad no nula
tienen la misma función de densidad.
Gráficamente se representa mediante:
1.00

f(x)

F(x)

-∞

0

+∞

-∞

X

+∞

X

2. EL MODELO NORMAL, N(μ, σ)
La curva normal además de una fórmula matemática es un fenómeno natural puesto que es
frecuente encontrarse variables condistribuciones normales.
El modelo Normal
Existe un valor central (la media), μ, donde se concentran
la mayor parte de los individuos.

N (μ ,σ )
F ( x i)

A medida que nos alejamos de μ (a la derecha, con
puntuaciones altas y a la izda. con bajas) el número de
individuos se reduce.

μ -σ

μ

μ + σ

X

X se distribuye normalmente con parámetros μ y σ Es decir: X ~ N (μ, σ)
2
2
1
sisu función de densidad es: f ( x ) =
⋅ e − ( X − μ ) / 2σ
2
2πσ
Para variables tipificadas: z i =

Xi − μ

un aspecto más sencillo: f ( z ) =

σ

, esta fórmula toma

N (0 ,1 )
F ( z i)

2
1
⋅ e−z / 2
2π

-3

-2

-1

0

1

2

3

zi

Teorema de la Tipificación: Para variables normales, la función de distribución asociada a
un valor xi es la misma que laasociada a ese valor en típicas (zi). Esto es: F(xi) = F(zi)
Ejemplo:

X ~ N (10, 2) .... La variable X se distribuye normalmente con media μ = 10 y desviación típica σ = 2
z ~ N (0, 1) ...... La variable z se distribuye normalmente con media 0 y desviación típica 1
Carmen Ximénez

2

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Esquema del Tema 16

Tablas estadísticas 
Las tablas con la probabilidadcorrespondiente a los valores de X i están en típicas zi.
Forma de consultar la tabla (ver Tabla II en pág. 409-413 del libro):
zi

-3,00
.
.
.

F(zi) … Área por la izda.

1º. Tipificar la puntuación: zi =

F(z i)

3,00

Para buscar la probabilidad asociada a un valor X en la tabla
normal:

Xi − μ

σ

2º. P (X ≤ xi) = P (z ≤ zi) = F(zi)
P (X ≥ xi) = P (z ≥ zi) = 1 - P (z ≤ zi) = 1-F(zi)
P (x1 ≤ X ≤ x2) = P (z1 ≤ z ≤ z2) = F(z2) - F(z1)

zi

Ejemplo:
La variable estatura en una muestra de estudiantes de bachilllerato se distribuye N (170, 8).
1. Probabilidad de que un sujeto mida al menos 165 cm:
P (X ≥ 165) = P (z ≥ 165 − 170 ) = P (z ≥ -0,625) = 1 - P (z ≤ -0,625) = 1 - 0,2643 = 0,7357
8

2. Probabilidad de que un sujeto mida entre 168 y 174 cm:
P (168 ≤ X ≤ 174)= P ( 168 − 170 ≤ z ≤ 174 − 170 ) = P (-0,25 ≤ z ≤ 0,5) = F(0,5) - F(-0,25) =
8

8

=

0,6915 - 0,4013 = 0,2902

Aproximación de la Binomial a la Normal:
La distribución normal se utiliza para aproximar las probabilidades asociadas al modelo
binomial X ~ B (N, π) cuando N > 17.
Para ello se calculan las puntuaciones típicas realizando la corrección por continuidad:

z=

( X ± 0,5)− E( X )
;
σ(X )

Donde: E(X) = n · π ; σ ( X ) =

N ⋅ π ⋅ (1 − π )

y se busca el área de probabilidad asociada en las tablas de la normal tipificada.

3. MODELO CHI-CUADRADO DE PEARSON, χ2k
Si

2
2
T = z12 + z 2 + ... + z k

2

2

2

p

χ 2k

[z 1, z 2, ... , z k son valores de la distribución N (0, 1)]
Entonces T (se distribuye según) ~ p χ2k
p = probabilidad...