Asimetria Y Curtosis

1.4 Momentos con respecto a la media para datos agrupados y no agrupados: asimetría y curtosis.

En secciones anteriores se han desarrollado métodos para describir la tendencia central de un conjunto de valores: media, mediana y la moda, y también para medir su grado de dispersión: varianza y desviación estándar. Otra característica que puede medirse de un conjunto de valores es el grado deasimetría y de curtosis.

Conociendo esos resultados será posible resumir eficazmente las características de un conjunto de datos con cuatro indicadores: una medida de centralización (la media), una medida de dispersión (desviación estándar), una medida de asimetría y una medida de altura (curtosis). Veamos entonces como se calculan las medidas de asimetría y curtosis.

Medidas de asimetría

Sila representación gráfica de un conjunto de valores es perfectamente simétrica, coincidirán los valores de la media, la mediana y la moda. Una gráfica de este estilo quedaría de la siguiente forma:

Conforme la distribución se aleja de la simetría los tres valores se alejaran entre sí, siendo la diferencia mayor la que se encuentra entre la media y la moda (ver gráficas a y b).

La asimetríaes positiva o hacia la derecha, si la media es mayor a la mediana (gráfica a), y es negativa o hacia la izquierda si la mediana es mayor a la media (gráfica b).

Gráfica b
Asimetría a la izquierda (negativa)

Md
Mo
Área de asimetría
Gráfica a
Asimetría a la derecha (positiva)

Mo
Md
Área de asimetría

La forma para calcular la asimetría que más se utiliza es el coeficiente deasimetría, definido como: 3, que también se define como el tercer momento con respecto a la media y se encuentra definida por la siguiente fórmula para cada tipo de serie:

Series simples | Series de frecuencia | Series de clases y frecuencias |
| | |
Donde: s3 = cubo de la desviación estándar
= media aritmética
i = Valor de la marca de clase o punto medio de la clase

Esta medida de laasimetría es un número relativo y, por lo tanto, puede utilizarse con fines de comparación.

Para calcular 3, se obtiene primero la suma del cubo de las diferencias con respecto a la media, luego se divide el resultado entre el número de observaciones y el resultado que se obtiene se divide, entre el cubo de la desviación estándar.

Los posibles resultados se interpretan de la siguiente forma:para una distribución simétrica, 3, es igual a cero. Los valores positivos de 3, indican que la asimetría de la distribución es positiva, en otras palabras, la distribución tiene un largo extremo (o cola), hacia la derecha. Los valores negativos de 3, indican que la distribución tiene una larga cola hacia la izquierda. Cuando mayor sea el valor de 3, mayor será la asimetría de la muestra. Podemosresumir los posibles resultados en el siguiente diagrama:

Ahora veamos un ejemplo para ver cómo se obtiene el coeficiente de asimetría, a partir de los siguientes datos de las edades de treinta personas elegidas al azar.

30 | 32 | 21 | 37 | 26 | 43 | 18 | 37 | 23 | 35 |
27 | 44 | 39 | 39 | 40 | 40 | 28 | 39 | 42 | 40 |
39 | 42 | 37 | 40 | 35 | 37 | 39 | 25 | 39 | 22 |

a) Resumirla información en un cuadro de frecuencias
b) Calcular la media y la desviación estándar
c) Obtener la asimetría de distribución.
Solución:

a) Resumir la información en un cuadro de frecuencias:

Edades | | Conteo por marcas“Tarjado” | | Personas(frecuencias) |
18 | | I | | 1 |
21 | | I | | 1 |
22 | | I | | 1 |
23 | | I | | 1 |
25 | | I | | 1 |
26 || I | | 1 |
27 | | I | | 1 |
28 | | I | | 1 |
30 | | I | | 1 |
32 | | I | | 1 |
35 | | II | | 2 |
37 | | IIII | | 4 |
39 | | IIII I | | 6 |
40 | | IIII | | 4 |
42 | | II | | 2 |
43 | | I | | 1 |
44 | | I | | 1 |
| | | | 30 |

b) Calcular la media y la desviación estándar
Para calcular la media y la desviación estándar es conveniente...