Asintotas

Asíntotas
Se llama asíntota de una función f(x) a una recta t cuya distancia a la curva tiende a cero, cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto a.
Definición
Asíntota vertical
La recta x=a es asíntota vertical (AV) de f(x) si limx->a+ f(x) = inf olimx->a- f(x) = inf.

Definición
Asíntota horizontal
La recta y=b es asíntota horizontal (AH) de f(x) si limx->inf f(x) =b.

Ejemplo
f(x) = x/(x-1)

limx->1+ f(x) = +inf
limx->1- f(x) = -inf

=> x=1 es AV de f(x)

limx->inf f(x) = 1

=> y=1 es AH de f(x) |        | |
Definición
Asíntota oblicua
La recta y = mx + n es asíntota oblicua (AO) de f(x) si limx->inf f(x) - (mx + n) = 0.

Ejemplo
f(x) = x + 1/x

limx->inf f(x) - x = limx->inf x + 1/x - x = 0

=> y=x es AOde f(x)

Además,
limx->0+ f(x) = +inf
limx->0- f(x) = -inf
=> x=0 es AV de f(x) |     | |
Teorema
-------------------------------------------------
y = mx + n es asíntota oblicua de f(x) <=> 
n = limx->inf f(x) - mx
m = limx->inf f(x)/x
Demostración:
Directo:
Por hipótesis lim f(x) - (mx + n) = 0
x->inf=> lim f(x) - mx - n = 0
x->inf

=> lim f(x) - mx = n
x->inf
n
---^---
f(x) f(x)f(x) - mx
=> lim ---- = lim ---- - m + m = lim --------- + m = m
x->inf x x->inf x x->inf x
Recíproco:
lim f(x) - (mx + n) = lim f(x) - mx - n = 0
x->inf x->inf
=> por definición y = mx + n es asíntota oblicua de f(x). 
ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓNLas asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definición más formal es:
DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinadatiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
|
a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)
Si existe un número “a” tal, que :
|
La recta “x = a” es la asíntota vertical.
Ejemplo:
 es la asíntota vertical.

b. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe el límite: :
|
La recta “y = b” es la asíntotahorizontal.
Ejemplo:
 es la asíntota horizontal.

c. Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites: :
|
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
Ejemplo:

 es la asíntota oblicua.

Nota-1
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.
Nota-2
En el cálculo de los límites se entiende la posibilidadde calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.
Posición relativa de la función con respecto a la asíntota
Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:
|
Estospuntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota].
Ejemplo:
La función  tiene por asíntota oblicua la recta 
Calculamos los puntos de intersección de ambas:

El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).
Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.

Esto nos...