Atomos

El Átomo de Hidrógeno

El Modelo Clásico de Rutherford
Se basa en la segunda ley de Newton y la atracción coulombiana entre electrón y núcleo (Z=1).

F = mea
Consideremos que la orbita es circular.
2 e2 1 a= v →v= R 4πε0me R

F=

4πε 0 R2
F
v

e2

2 EK = 1 mev2 = e 2 8πε0R

La energía potencial se obtiene de la electrostática:
2 EP = − e 4πε 0R

R

La energía total esnegativa, por lo cual se tiene un estado ligado.
2 E = EK + EP = − e < 0 8πε 0R

...sin embargo este modelo no es correcto.

El problema consiste en que no se ha considerado que las Ecuaciones de Maxwell predicen que una carga acelerada emite radiación electromagnética en forma continua. Ello significará que el sistema perderá energía en forma continua, lo que se manifestaría en una orbita deradio decreciente (espiral).

El tiempo, calculado, que duraría el electrón orbitando, antes de caer al núcleo es absurdamente pequeño:

τ ∼ 10−8 ⎡ s ⎤ ⎣ ⎦

¿Los átomos son inestables ? No, el tartamiento clásoco no es adecuado.

Comportamiento ondulatorio de electrónes en átomos

Cuando se estima cuál es la longitud de onda de De Broglie del electrón en el átomo de Hidrógeno, se obtieneque es del mismo orden de magnitud que el radio del átomo de Rutherford.
2 h → p = m v = mee2 → λ = 4πε 0h R λe = p e e 4πε 0R mee2

Para

Ratomo ≈10−10 ⎡m⎤ → λe ≈ 4,6i10−10 ⎡m⎤ ∼ RH ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
...por lo cual los aspectos ondulatorios son importantes y la Mecánica Clásica ya no es aplicable.

El Modelo de Bohr (Niels Bohr 1912)
Este considera que el electrón se comporta como una onda, cuyalongitud de onda es la que predice la relación de De Broglie. La hipótesis que se incluye, es que la onda del electrón es continua, es decir el radio de la orbita es igual a un múltiplo entero de su longitud de onda.

Es decir:

2π R = nλe ; n =1,2,3,...

Como se vio antes

→ λe = β R

4πε 0h2 ; β= mee2

Combinando lo anterior, se obtiene una cuantización del radio de la órbita:
2 ;R0 = β 2 ≈ 0.053⎡nm⎤ ⎣ ⎦ 4π

→ R = R0n2

...donde el mínimo valor para el radio de la órbita, es el llamado Radio de Bohr y ocurre cuando n = 1.

...hay otras cantidades que también se encuentran cuantizadas en el átomo de hidrógeno. Cuantización de la Energía:
2 E0 E = − e = ... = − 2 8πε 0R n

; E0 =

8πε0R0

e2

Emin = − E0 ≈ −13,6 ⎡eV ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦

Mínima energía posible delátomo (electrón y núcleo ligados)

Cuantización del Momento Angular:

L = mevR = ... = hn

Predicción incorrecta.

Transiciones Cuánticas

E

E0 En = − 2 n

Transiciones Cuánticas
Emisión de Energía:

n f < ni 1 − 1 nf 2 n
⎞ ⎟ ⎟ 2⎟ i ⎟ ⎠

Absorción de Energía:

n f > ni
⎞ ⎟ ⎟ 2⎟ f ⎟ ⎠

∆E = Ei − E f = E

⎛ ⎜ ⎜ 0⎜ ⎜ ⎝

∆E = E f − Ei = E

⎛ ⎜ ⎜ 0⎜ ⎜ ⎝

1 − 1 ni2 nEi = E f + hν

; hν = E 1 2 − 1 nf n

⎛ ⎜ ⎜ 0⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ 2⎟ i ⎟ ⎠

Ei + hν = E f ni =1 , n f →∞

;

hν = E

⎛ ⎜ ⎜ 0⎜ ⎜ ⎝

1 − 1 ni2 n

⎞ ⎟ ⎟ 2⎟ f ⎟ ⎠

La energía de Ionización sería la de la siguiente transición (absorción):

1 − 1 ⎞=E ⎟ Eion = E 2 ⎟ 1 ∞2 ⎟ 0 ⎠

⎛ ⎜ 0⎜ ⎜ ⎝

Ejemplo.

⎞ 1 − 1 ⎟ = 3 E ≈10,2 ⎡eV ⎤ ∆E12 = E 2 2 ⎟ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 ⎠ 4 0

⎛ ⎜ 0⎜ ⎝

γ

n=2n=2

¿?
n =1 n =1

Eγ < ∆E12 ≈10,2 ⎡eV ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦

Ejemplo.

⎞ 1 − 1 ⎟ = 3 E ≈10,2 ⎡eV ⎤ ∆E12 = E 2 2 ⎟ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 ⎠ 4 0

⎛ ⎜ 0⎜ ⎝

γ
Eγ − δ E

γ

n=2

n=2 n =1

n =1

Eγ < ∆E12 ≈10,2 ⎡eV ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦

Ejemplo.

⎞ 1 − 1 ⎟ = 3 E ≈10,2 ⎡eV ⎤ ∆E12 = E 2 2 ⎟ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 ⎠ 4 0

⎛ ⎜ 0⎜ ⎝

γ

n=2

n=2

¿?
n =1 n =1

Eγ ≥ ∆E12 ≈10,2 ⎡eV ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦

Ejemplo.⎞ 1 − 1 ⎟ = 3 E ≈10,2 ⎡eV ⎤ ∆E12 = E 2 2 ⎟ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 ⎠ 4 0

⎛ ⎜ 0⎜ ⎝

γ
Eγ − ∆E12

γ

n=2

n=2 n =1

n =1

Eγ ≥ ∆E12 ≈10,2 ⎡eV ⎤ ⎢ ⎥
⎣ ⎦

Experimento de Franck – Hertz Confirmó la estructura discreta del espectro de absorción para gases de un elemento químico.

1 − 1 ⎞ = 3 E ≈10,2 ⎡eV ⎤ ⎟ Cuando: Ee = eU < ∆E = E ⎢ ⎥ 12 2 22 ⎟ 4 0 ⎣ ⎦ ⎟ 1 ⎠

⎛ ⎜ 0⎜ ⎜ ⎝

La energía...