Autovalores y autovectores




















AUTOVALORES Y AUTOVECTORES












Carvajal LeonorLeonor CarvajalAUTOVALORES Y AUTOVECTORES

Definición.: Si A es una matriz de orden n, entonces un vector X diferente del vector cero en Rn se denomina AUTOVECTOR de A si A.X es un múltiplo escalar de X.
Es decir: A.X = . X con

El escalar se denomina AUTOVALOR de A.
Se dice que X es un AUTOVECTOR de A correspondiente a .

Ejemplo: Obtenerlos autovalores y autovectores de A = .
1) Determinación de los autovalores:

Por definición, A.X = . X es la Ecuación característica.
Luego:


Tenemos un sistema homogeneo del que se buscan soluciones no triviales pues X no es el vector cero.
Ello se obtiene cuando Det .
En nuestro ejemplo: . Estos son los AUTOVALORES de A

2) Obtención delos autovectores:
Para


Para

3) Pares característicos: son los pares o sea, .
Leonor Carvajal

Interpretación geométrica en R2 y en R3

A X es la expresión matricial de una T.L. .
Los vectores X distintos del vector cero,tales que , o sea, son los autovectores de A son los únicos en los que la T.L. produce una dilatación o contracción en sus direcciones y sólo en ellas.

Subespacios característicos o propios de A

Los autovectores Xi correspondientes a los autovalores , son los vectores no nulos del subespacio solución del sistema homogeneo , llamado subespacio característico de A correspondiente a y losimbolizamos .
En nuestro ejemplo, para , es . Una base de S3 es y su dimensión es 1.
Análogamente, para , es . Una base de S-1 es y su dimensión es 1.

Observamos que Dim S3 + Dim S-1 = 2 , que es el orden de A ( n = 2).
Pero esto no siempre ocurre…

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AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Sea / . El problema que se presenta eshallar los escalares para los cuales se obtiene X no nulos. La solución consiste en hallar los autovalores y autovectores de cualquiera de las matrices que representan a respecto de una base, tal como lo expresa el siguiente teorema:
Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, V es una transformación lineal y AB una matriz asociada a la transformación lineal en cualquier base B de V,entonces:
1) Los valores propios de T son los valores propios de AB.
2) Un vector X(X no nulo) es un autovector de T para si y sólo si la matriz de coordenadas de X=en la
base B es un vector propio de AB .

Leonor Carvajal

Procedimiento:
1) Seelige una base B de V.
2) Se haya AB que representa a T en la base B.
3) Se hallan los pares característicos de A.

Ejemplo. Proporcione los valores propios y los vectores propios de
que también puede expresarse , 1) respecto de la base B =
2) respecto de la base B´=

Desarrollo:...