Autovalores Y Autovectores

Definición:

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación quedacompletamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio, se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido tambiéncomo inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal.
Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.

Ecuación del valor propio o autovalor

Matemáticamente, vλ es un vector propio y λ el valor propio correspondientede una transformación T si verifica la ecuación:

Donde T(vλ) es el vector obtenido al aplicar la transformación T a vλ.
Supóngase que T es una transformación lineal (lo que significa que

para todos los escalares a, b, y los vectores v, w). Considérese una base en ese espacio vectorial. Entonces, T y vλ pueden representarse en relación a esa base mediante una matriz AT y un vector columnavλ—un vector vertical unidimensional. La ecuación de valor propio en esta representación matricial se representa de la siguiente forma:

Donde la yuxtaposición es un producto de matrices. Dado que en esta circunstancia la transformación T y su representación matricial AT son equivalentes, a menudo podemos emplear sólo T para la representación matricial y la transformación. Esto es equivalente a unconjunto de n combinaciones lineales, donde n es el número de vectores de la base. En esta ecuación, tanto el autovalor λ y las n componentes de vλ son desconocidos. Sin embargo, a veces es poco natural o incluso imposible escribir la ecuación de autovector en forma matricial. Esto ocurre, por ejemplo, cuando el espacio vectorial es de dimensión infinita, como por ejemplo en el caso de la cuerdamostrada anteriormente.
Dependiendo de la naturaleza de la transformación T y el espacio al que se aplica, puede ser ventajoso representar la ecuación de autovalor como un conjunto de ecuaciones diferenciales, donde los autovectores reciben a menudo el nombre de autofunciones del operador diferencial que representa a T. Por ejemplo, la derivación misma es una transformación lineal, ya que (sif(t) y g(t) son funciones derivables y a y b son constantes)

Considérese la diferenciación con respecto a t. Sus autofunciones h(t) obedecen a la ecuación de autovalor:
,

donde λ es el autovalor asociado con la función. Una función en el tiempo es constante si λ = 0, crece proporcionalmente a sí misma si λ es negativa. Por ejemplo, una población ideal de conejos engendra con más frecuencia amedida que hay más conejos, y por tanto satisface la ecuación para lambda positiva.

La solución a la ecuación de valor propio es g(t) = exp(λt), la función exponencial; pues esa función es una función propia del operador diferencial d/dt con el valor propio λ. Si λ es negativa, la evolución de g se denomina decaimiento exponencial; si es positiva se denomina crecimiento exponencial. El valorde λ puede ser cualquier número complejo. El espectro de d/dt es entonces el plano complejo en su totalidad. En este ejemplo el espacio vectorial en el que actúa d/dt es el espacio de las funciones derivables de una variable. Este espacio tiene una dimensión infinita (pues no es posible expresar cada función diferenciable como combinación lineal de un número finito de funciones base). No...