Autovalores y autovectores

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

Sea T: V(V una transformación lineal. En muchas aplicaciones nos interesa encontrar vectores v(V para los cuales v y T(v) son paralelos, es decir, estamos interesados en encontrar vectores v en V, no nulos, tales que:
T(v) = (v

Si v(0 y ((( satisfacen la igualdad anterior, diremos que ( es un autovalor de T y v es un autovector de T correspondiente alautovalor (. Nos proponemos investigar las propiedades de los autovalores y autovectores así como el cálculo de los mismos.

Si V es un espacio vectorial de dimensión n, ya vimos en la clase pasada, que T se puede representar por una matriz AT de nxn, T(v)=ATv. Por esta razón, estudiaremos los autovalores y autovectores para matrices de nxn.

DEFINICION 1:

Sea A una matriz nxn. Diremos que((( (también puede ser complejo) es un autovalor o valor propio de A si hay un vector v((n ( ó Cn ), v ( 0, tal que
A v = ( v

El vector v ( 0 se llama autovector o vector propio de A correspondiente al autovalor (.

Ejemplo Nº 1:

Ejemplo Nº 2:

La matriz identidad I, satisface I(v) = v para todo vector v((n por lo tanto, 1 es el único autovalor de I y todo v ( 0 esautovector de I asociado al autovalor ( =1.

¿Cómo calcular los autovectores y autovalores?

Empecemos con un ejemplo: A = [pic], encuentre los autovalores y autovectores

Solución:

Conclusiones:

Calculo de autovalores y autovectores

Supongamos que ( es un autovalor de A con autovector v ( 0, entonces

A v = ( v = ( I v ( (A -(I) v = 0

Es decir, el autovector v esuna solución no trivial del sistema homogéneo cuya matriz asociada es (A -(I). Por el teorema resumen sabemos que eso equivale a decir que :

det (A -(I) = 0.

Por otro lado si det (A - (I) ( 0 entonces la única solución del sistema homogéneo viene dada por la solución trivial v = 0 y en ese caso ( no sería un autovalor de A. En resumen:

( es autovalor de A si y solo sip(() = det (A - (I) = 0

La ecuación anterior se llama ecuación característica de A y p(() = det (A - (I) se llama polinomio característico de A. Este polinomio es de grado n y de acuerdo al teorema fundamental del álgebra tiene exactamente n raíces (contando la multiplicidad de cada raíz). Por lo tanto toda matriz de nxn tiene exactamente n autovalores.

Ejemplo Nº3:

Sea A = [pic],entonces p(()=det(A-(I)= [pic]=((-1)((-6)
p(() = 0 si y solo si ( = 1 o ( = 6. Por lo tanto 1 y 6 son los autovalores de la matriz A.

Ejercicio Nº 1:

Sea A = , compruebe que los autovalores de A son 2, -3 y 5.

Ver Solución

DEFINICION 2:

Sea ( un autovalor de la matriz A, nxn, se define el autoespacio o espacio propio de A correspondiente a ( como

E( = { v((n /Av = (v }.

Es decir, E( es el conjunto de todos los autovectores correspondientes al autovalor (

Observemos que E( = {v((n /(A - (I) v = 0 } = N(A-(I) .

Es decir, E( es el espacio nulo de la matriz (A-(I), y por lo tanto es un subespacio de (n.

TEOREMA 1:

Autovectores correspondientes a autovalores distintos son linealmente independientes.

Demostración:

Haremos la pruebapara el caso de A, 2x2. Supongamos que (, ( son autovalores distintos de A con autovectores v y w respectivamente. Probemos que v, w son linealmente independientes. En efecto,

(v +(w = 0 ( A((v +(w) = 0 (

((Av) +((Aw) = 0 ( (((v) +(((w) = 0 (

w es no nulo por ser autovector y (( - () es distinto de cero porque son autovalores distintos , por lotanto ( = 0. Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos ( = 0. Por lo tanto v y w son linealmente independientes.

Procedimiento para el calculo de autovalores y autovectores de la matriz A:

1.- Hallar p(() el polinomio característico de A.

2.- Hallar las raíces de p, es decir, resolver la ecuación p(() = 0 para encontrar los autovalores de A.

3.- Resolver el sistema homogéneo (A...