matrices autovalores y autovectores

MATRICES
AUTOVALORES y AUTOVECTORES
DIAGONALIZACIÓN
MATRIZ DE JORDAN

Jorge Benavides S.

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Índice
1 Resumen de Matrices
1. Definición
2. Igualdad de Matrices
3. Suma y Resta de Matrices
4. Multiplicación de Matrices
5. Tipos de Matrices
6. Potencia de una Matriz
7. Traza de una Matriz
8. Partición de una Matriz
9. Suma de Matrices Particionadas
10. Producto de MatricesParticionadas
11. Inversa de una Matriz – Determinantes
12. Propiedades de los Determinantes
13. Propiedades y Definiciones Adicionales de las Matrices

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2 Autovalores y Autovectores de un Operador Lineal o Matriz
1.
2.
3.
4.

Transformaciones y Operadores Lineales
Autovalores
Autovectores
Propiedades y Definiciones

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3 Obtenciónde las Formas Canónicas Diagonal y de Jordan
1.
2.
3.
4.

Diagonalización de una Matriz
Método General de Diagonalización para el Caso de Autovalores Diferentes
Caso de Autovectores no Todos Linealmente Independientes
Una Simple Aplicación Interesante

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Resumen de Matrices
1. Definición. Una matriz es un arreglo de números ordenados en filas y columnas (Enrigor, los
elementos de las matrices pertenecen a un cuerpo o a un anillo y pueden ser: números reales,
números complejos, polinomios, funciones de variable real o compleja, etc).
Sea A una matriz de orden m x n (m filas y n columnas):
 a11 a12  a1n 
 a a  a 
2n 
A   21 22





 am1 am 2  amn 

Si m = n se dice que la matriz es cuadrada.
Si m = 1 se dice que esuna matriz fila o vector fila:

A   a11 a12  a1m 

 a11 
a 
Si n = 1 se dice que es una matriz columna o vector columna: A   21 
 
 
 am1 
Una matriz se puede expresar en forma compacta como:

A   aij  , i  1, 2, m, j  1, 2, n
Una aplicación muy frecuente de las matrices es para expresar sistemas de ecuaciones lineales,
sea por ejemplo:
a11 x1  a12 x2  a13x3  c1
a21 x1  a22 x2  a23 x3  c2
a31 x1  a32 x2  a33 x3  c3
Se puede expresar como:

AX=C

Siendo A, X, C matrices tales que:
 a11 a12 a13 
A   a21 a22 a23  ,


 a31 a32 a33 



 x1 
X   x2  ,
 
 x3 
 

 c1 
C   c2 
 
 c3 
 

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Por lo tanto, la expresión: A X = C significa:
 a11 a12 a13   x1   c1 
a a a   x   c  21 22 23   2   2 
 a31 a32 a33   x3   c3 

   

2. Igualdad de Matrices. Sean dos matrices A y B tales que:

A   aij  , B   bij  , i  1, 2, m, j  1, 2, n
Se dice que ellas son iguales y se expresa A = B si se cumple que:

aij  bij i  1, 2, m, j  1, 2, n
Lo anterior sólo se puede cumplir si ambas matrices tienen el mismo número de filas y
columnas.
3.Suma y Resta de Matrices. Dos matrices A y B pueden sumarse sólo si ellas tienen la misma
dimensión m  n, y por definición, cada elemento de la matriz resultante S es la suma de los
elementos en la misma ubicación del arreglo:

A   aij  , B   bij   S  A  B  ( sij ), con sij  aij  bij
De la misma forma, la resta o diferencia entre A y B es:

D  A  B  ( d ij ), con d ij  aij bij
4. Multiplicación de Matrices. Sea A de orden m  n, y B de orden n  p, dos matrices, tales que:

A   aij  , B   bij 
El producto de las dos matrices P = A B se define como:
 n

P  ( pij )    aik bkj  , i  1, 2, m,
 k 1


j  1, 2, p

La dimensión de P es m  p. El elemento cij es el producto interno de la i-ésima fila de A por la jésima columna de B.
Elproducto de una matriz A por un escalar α es una nueva matriz Q = α A, en la que cada
elemento de A está multiplicado por el escalar α:

A  ( aij ), entonces Q   A  ( aij )
Se puede verificar fácilmente que el producto de matrices cumple las siguientes propiedades:

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( A  B )C  AC  BC
C ( A  B )  CA  CB
( AB )C  A( BC )
Además, si A y B son cuadradas de igual dimensión,...