Autovalores y autovectores

UNIDAD V:
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

Polinomio de matrices
Consideremos un polinomio P(x) sobre el cuerpo K; por ejemplo,
P (x) = an . xn + an-1 . xn-1 + … + a1.x + a0.
Recuérdese que si A es una matriz cuadrada sobre K, definimos:
P(A) = an . An + … + a1.A + a0. I; donde I es la matriz identidad.-
En particular decimos que A es una raíz o cero del polinomio
P(A) si P (A) = 0.-Ejemplo: Sea A = y sean f (A) = 2.A2 – 3 . A + 7 . I y g (A) = A2 – 5 . A – 2 . I ; Entonces:
f (A) = 2 . - 3 . + 7 . = y
g (A) = - 5 . - 2 . =

De este modo, A es un cero de g (A).-

Propiedad: Sean f y g dos polinomios sobre un cuerpo K y A una matriz n – cuadrada sobre K. Se cumple:
i) ( f + g ) A = f (A) + g (A)
ii) ( f . g ) A = f (A) . g (A)
iii) ypara todo escalar k K : (k . f ) . A = K . f (A)

Más aun, como f (K) . g ( K ) = g ( K ) . f ( K ) para todo par de polinomios g ( K ) y f ( K ); f ( A ) . g ( A ) = g ( A ) . f ( A ); es decir, dos polinomios cualesquiera en la matriz A conmutan.-

AUTOVECTORES Y AUTOVALORES

Son vectores y valores de una transformación lineal.-
Consideremos un espacio vectorial ( V, + , K , . ) y unendomorfismo T: V → V.-

Definición:
El escalar k de K es un valor propio de T ⇔ no nulo V / T( ) = k . .-

Todo vector no nulo que satisfaga la condición anterior se llama vector propio de T, asociada al valor propio k.-
k recibe el nombre de autovalor, valor propio, valor característico o ligenvalor (del alemán ligen = propio) y recibe el nombre de autovector, vector propio,vector característico o ligenvector.-
Para cualquier matriz Anxn es necesario conocer los vectores característicos, junto con los correspondientes valores característicos.-

En consecuencia, un vector propio de una transformación lineal es un vector no nulo cuya imagen es un múltiplo escalar del mismo.-

MATRIZ Y POLINOMIO CARACTERÍSTICO
Consideremos una matriz n – cuadrada sobre un cuerpo K.A =

La matriz k . In – A, donde In y k un escalar indeterminado (cualquiera); se denomina la matriz característica de A:
k . In – A =

Su determinante = que es un polinomio característico en k, recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos ecuación característico al polinomio característico igualado a cero, es decir, a
= = 0.-
Recordemos que latraza de A: es la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz.-
A veces resulta más conveniente resolver = 0, que el = 0, cuando se calculan vectores propios. Por supuesto, ambos sistemas conducen al mismo espacio solución.-
Esto se resuelve suponiendo que k es un valor característico de A.
Entonces existe = ≠ 0 tal que A. = k . ; Al segundo miembro podemos escribir:k . = k . I . ; reemplazando nos queda A . = k . I . ; o sea, A . - k . I . = 0; sacando como factor común nos queda:
( A – k . I ) . = 0 ≈ ( k . I – A ) . = 0 multiplicando por (-1) ambos miembros




De aquí podemos decir que el vector debe ser ≠ 0, ya que si = 0 k no es un valor característico de A. Por lo tanto ( A – k . I ) . = 0 representa un sistema homogéneode n ecuaciones con n incógnitas x1,x2, … ,xn .-
Este sistema solo va a tener solución no trivial cuando el determinante
= = 0
Por lo tanto concluimos diciendo que: “Sea A una matriz n x n y un vector n x 1, con ≠ 0.
Entonces k es un valor característico de A el determinante
= = 0”

MATRICES DIAGONALIZABLES

Se dice que una matriz A es diagonalizable si existe unamatriz no singular (inversible) P (matriz de paso) tal que D = P-1 . A . P es una matriz diagonal, es decir: A ∈ Knxn es diagonalizable P no singular / D = P-1 . A . P .

PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DE VALORES Y VECTORES PROPIOS, MATRIZ DE PASO Y DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

La entrada es una matriz n-cuadrada A cualquiera:
1º ).- Hallar el polinomio característico =
2º ).- Hallar...