Axioma Del Supremo

AXIOMA DEL SUPREMO.
Antes de presentarles el axioma del supremo, axioma de los números reales, es necesario tener presente varios conceptos que nos sirven para acotar conjuntos: cotas superiores einferiores, máximos y mínimos, supremos e ínfimos.
Acotado Superiormente.
Un conjunto A es acotado superiormente si existe un real M que es mayor que todos los elementos del conjunto A, a este númeroM se le llamará cota superior de A. Cualquier otro real mayor que M también será una cota superior de A.
Acotado Inferiormente.
Un conjunto A es acotado inferiormente si existe un real m que esmenor que todos los elementos del conjunto A, a este número m se le llamará cota inferior de A. Cualquier otro real menor que m también será una cota inferior de A.
Un conjunto acotado superior einferiormente se dice acotado.
Máximo.
Diremos que un conjunto A posee máximo si posee una cota superior que pertenece al conjunto A.
Mínimo.
Diremos que un conjunto A posee mínimo si posee una cotainferior que pertenece al conjunto A.
Supremo.
Diremos que un conjunto A posee supremo, si existe un real S que satisface las 2 siguientes condiciones:
A).- S es una cota superior de A.
B).-Cualquier otra cota superior de A es mayor es mayor que S.

Ínfimo.
Diremos que un conjunto A posee ínfimo si existe un real i que satisface las 2 siguientes condiciones:
A).- i es una cota inferior deA.
B).- Cualquier otra cota inferior de A es menor que i.
Ejemplos:
1.- A= (-∞ ,5) Tiene como supremo el valor 5, ya que 5 es cota superior del conjunto y cualquier otra cota superior de A serámayor que 5, no tiene ínfimo pues no está acotado inferiormente.
2.-A= [-1,3] Esta acotado superior e inferiormente y tiene a -1 como ínfimo y a 3 como supremo (-1 es mínimo y 3 es máximo).
Axioma delSupremo.
Todo conjunto no vacio y acotado superiormente posee un supremo.
Se puede demostrar que todo conjunto no vacio acotado inferiormente posee ínfimo. En efecto, basta verificar que:
Inf...