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Diferencia finita
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferenciasfinitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.
Diferencias anterior, posterior y central


Diferencias finitas.
Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.
Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma ellimite h → 0.
Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por

Relación con las derivadas
La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite

Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha se convierte en

Porlo tanto, la diferencia posterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es:

La misma fórmula es válida en la diferencia anterior:

Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al cuadrado delespaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).

Cálculo de diferencias finitas
La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder  con su derivada , es decir, 
Formalmente, invirtiendo la exponencial,


Estafórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevana:

El error de la aproximación es del orden de h2.
Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

Derivadas de órdenes mayores
De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. Por ejemplo usando la fórmula de la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de  para  y  yaplicando la fórmula de diferencia central a la derivada de  en x, obtenemos la aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f:

Métodos de diferencias finitas
Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudoen análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias, ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas.
Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos.En matemáticas, un operador diferencial es un operador lineal definido como una función del operador de diferenciación. Ayuda, como una cuestión de notación, considerar a la diferenciación como una operación abstracta, que acepta una función y regresa otra (al estilo de una función de orden superior de las ciencias de la computación).
Caso con una variable
El uso más común del operador...