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Sucesión matemática


Una sucesión infinita de números reales (en azul). La sucesión no es ni creciente, ni decreciente, ni convergente, ni es una sucesión de Cauchy. Sin embargo, sí es una sucesión acotada.
Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y alnúmero de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.
A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobreel conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.
Ejemplo
La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...
En ocasiones se identifica a lassucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excl
elem uirse dependiendo del contexto.
entos
Definiciones
Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva.Definición formal
Una sucesión finita (de longitud r) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función
.
y en este caso el elemento corresponde a .
Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10:

corresponde a la función (donde es el conjunto de números primos) definida por:
.
Una sucesión infinita con elementos pertenecientes a unconjunto S, se define como una función
.
en donde, de forma análoga, corresponde a .
Notación
Notaremos por a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos .
La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.
Definición de término general
Llamaremos término general de una sucesión a ,donde el subíndice indica el lugar que ocupa en dichasucesión.
Definición de parcial
Llamaremos parcial de a una sucesión donde .
Notación
Existen diferentes notaciones y nociones de sucesión en matemáticas, dependiendo del área de estudio, algunas de las cuales (como por ejemplo sucesión exacta) no quedan comprendidas en la notación que se introduce a continuación.
Se puede usar la notación para indicar una sucesión, en donde hace referencia alelemento de la sucesión en la posición n.
Ejemplo. Retomando el ejemplo de los números positivos pares, si denotamos dicha sucesión por :

entonces
.
En el caso de que los elementos de la sucesión queden determinados por una regla, se puede especificar la sucesión haciendo referencia a la fórmula de un término arbitrario. Ejemplo. La sucesión anterior puede especificarse mediante la fórmula .No es infrecuente encontrar sucesiones en donde los subíndices denotando posiciones inician desde cero, en vez desde uno, particularmente en matemática discreta o en ciencias de la computación. También se puede usar una variable distinta a n para denotar el término general, cuando así convenga para evitar confusión con otras variables.
En la literatura es posible encontrar una gran variedad denotaciones alternativas. Por ejemplo, uso de llaves en vez de paréntesis, o indicaciones de los límites mediante variantes de super y subíndices, a continuación se muestran algunos pocos ejemplos:



Sucesiones numéricas
Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales sobre otro conjunto numerico, así por ejemplo:

Una sucesión de N sobre N, como la sucesión...