Bachiller

En una función continua se producen variaciones en los valores de la función para los puntos cercanos del dominio. El dominio es el conjunto de partida de una función, o sea aquellos valores para los cuales la función se define. Entonces la palabra continuidad quiere decir que se produce un pequeño cambio en la variable x o un cambio en el valor f (x). Entonces la gráfica consiste solo de unúnico trozo de curva ya que no contiene interrupciones. Como definición podemos expresar que una función f (x) es un punto “a” si:
limx->af(x) = f(a).
Es necesario que exista f(a) y debe existir lim x->a f(x) y tiene que ser idéntico a f(a)
Observemos el siguiente ejemplo de trazo continuo propio de una función continua:

Para que haya continuidad en punto se deben cumplir ciertascondiciones. La primera es que f(a) exista. La función tiene que definirse en el punto en el cual se pretende la continuidad o sea que f(a) ha de ser un número real. En la siguiente condición se cumple que lim f (x) existe. Aquí los valores de la función se aproximan a un solo número real a medida que x se aproxime a “a” por el lado izquierdo por el lado derecho. Como última condición lim f (x)= f (a). Losvalores de la función deben acercarse al número real f(a) a medida que x esté próximo a “a” por izquierda y por derecha. Observemos lo siguiente:
Avisos Google

Aprende el Metodo Silva
www.metodosilvadevida.com - Descarga el Mas Poderoso Metodo de Meditacion. Sonido Alfa Gratis.

Ncomputing Ecuador
www.micro-pc.ec - Representante exclusivo en Ecuador Ventas,distribucion,soporte tecnicoContinuidad del Negocio
www.iteam.com.co - Consultoría especializada Planes BCP - DRP - Manejo de Crisis

Decimos que una función es continua, cuando tiene continuidad en todo punto de su dominio.
En oposición, cuando una gráfica consta de trozos de curva que se separa por un vacío en una abscisa, se produce una discontinuidad. Veamos ahora un ejemplo de discontinuidad:

F(x) es igual alcociente de 1 por x al cuadrado. Es discontinua en x=0 ya que no existe f(0)

F(x)= x2 si x <= 2
2x - 4 si x > 2
Es discontinua en x=2
Aunque exista f(2) no existe limx->2f(x)
Ya que limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0
Si observamos la función para x próximo a 2 pero menores y dejamos de lado las x mayores que 2, podemos decir que la función es continua en 2 por el lado izquierdo.Una función f(x) es continua por la izquierda si en el punto “a” existe f(a) y lim x->a-f(x) = f(a). En caso que la continuidad sea por la derecha la función f(x) será continua en el punto “a” si existe f(a) y lim x->a+f(x) = f(a). Entonces la función que vimos anteriormente es continua por el lado izquierdo x=2 pero no por el lado derecho.
Las discontinuidades se pueden clasificar dediferentes formas. En el primer caso tenemos las discontinuidades evitables de primera especie en las cuales no existe f(a) pero existe lim x->af(x). Otro caso de discontinuidades evitables sería aquel en el cual existe f(a) y existe lim x->af(x)=b pero b≠f(a). Es decir que existe f(a) pero es diferente al valor del límite. Este último sería una discontinuidad de segunda especie. Tenemos tambiénlas discontinuidades no evitables. De primera especie tenemos el caso en que limx->a-f(x) ≠ limx->a+f(x). Decimos aquí entonces que los límites laterales son distintos. En segunda especie no consta el limx->a-f(x) o limx->a+f(x). O sea que en este caso existe uno de los límites laterales.
Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado (a,b) si f es continua en a por la derecha osi lo es en b por el lado izquierdo. También si f es continua en x, para todo x que pertenezca al intervalo abierto (a,b).
Algunas de las funciones continuas más importantes son las funciones polinomiales, las trigonométricas como el seno y el coseno, las exponenciales y los logaritmos que son continuas en sus referentes dominios de definición. La parábola como función polinómica es un buen...