Bachiller

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

APLICACIONES FÍSICAS DE LA DERIVADA. RAZONES DE VARIACIÓN DE VARIABLES RELACIONADAS Considérese un movimiento rectilíneo de una partícula. A cada valor del tiempo "t" corresponde un cierto desplazamiento " s " de la partícula; luego la distancia recorrida es función del tiempo, es decir, que: s = f (t ) Si " t " experimenta un incremento " Δt" , la variable " s " también experimentará su correspondiente incremento " Δs " Δs y el cociente es la razón de variación de " s " con Δt respecto a " t " . Como es distancia sobre tiempo, se le llama rapidez de variación y equivale al módulo de la velocidad media de la partícula. Así, Δs = v = vmedia media Δt En el movimiento uniforme la velocidad es constante por lo que la velocidad mediaobtenida a partir del cociente anterior sería la misma durante todo el tiempo considerado. Sin embargo, cuando el movimiento es variado, esto es, cuando la velocidad experimenta cambios, entonces el módulo de la velocidad se obtendrá mediante la razón instantánea de variación de " s " con respecto a " t " , la que se determina a través del límite: Δs ds v = v = lim = Δt → 0 Δt dt Con la aceleración,esto es, el cambio de la velocidad en la unidad de tiempo, también es posible aplicar estos conceptos y se obtendrían la aceleración media y la aceleración instantánea: Δv = a = amedia media Δt Δv dv d2 s a = a = lim = = Δt → 0 Δt dt dt 2
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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Ejemplo. Se tiene un movimiento vertical. De acuerdo a la Cinemática, la expresión que define a la aceleración es: v − v0 a= fsi se trata de “caída libre”: t v0 = 0 y a = g ( aceleración de la gravedad) y entonces, v g = f ⇒ vf = gt ( velocidad en caída libre ) t Por otro lado, se sabe que la velocidad media está dada por s v= donde " s " es el espacio recorrido. Esta velocidad t v + vf y también se obtiene mediante la expresión v = 0 2 v como se trata de caída libre, v0 = 0 por lo que v = f de 2 donde: vf s vt = ⇒ s= f2 t 2 Como vf = gt , se puede escribir que: gt 2 s= ( distancia recorrida en caída libre ) 2 Se aplican las primeras dos derivadas, que definen los módulos de la velocidad y la aceleración, y se tiene: gt 2 ds s= ; v= v = ⇒ v = gt 2 dt dv d2 s = ⇒ a=g a= a = dt dt 2 Se partió de la Física y con el Cálculo se llegó al mismo resultado. Ejemplo. Se deja caer un objeto y cuando han transcurrido 3segundos, se requiere conocer su velocidad. Determinarla: i) Mediante la aplicación numérica del límite de la velocidad media. ii) A partir de la derivada del espacio recorrido. iii) Por medio de la fórmula cinemática correspondiente.
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Solución.
i)

Se sabe que en “caída libre”

m , entonces s = 4.9t 2 . La velocidad media se obtiene 2 s Δs con el cociente yla instantánea a partir del límite: Δt Δs v = lim Δt → 0 Δt Por lo que se construye la siguiente tabla: g = 9.8
t Δt
f ( t + Δt ) f (t )
Δs

gt 2 s = f (t ) = 2

y como

Δs Δt

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.5 0.3 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0.008 0.004 0.0008 0.0004 0.00008 0.00006
↓

60.025 53.361 47.089 46.48336 45.88164 45.28384 44.68996 44.335514 44.217678 44.123523 44.11176144.102352 44.101764

44.1 44.1 44.1 44.1 44.1 44.1 44.1 44.1 44.1 44.1 44.1 44.1 44.1

15.925 9.261 2.989 2.38336 1.78164 1.18384 0.58996 0.235514 0.117678 0.023523 0.011761 0.002352 0.001764017
↓

31.85 30.87 29.89 29.792 29.694 29.596 29.498 29.43925 29.4195 29.40375 29.4025 29.400388 29.400283
↓

0

0

29.4

Como se observa, a medida que Δt → 0 , Δs → 0 y el cociente de ambosincrementos se aproxima al valor 29.4 , que es la velocidad del objeto a los tres segundos de iniciar m su caída. Luego v = 29.4 s ds ii) Como s = 4.9 t 2 y v = , entonces v = 9.8 t por lo que dt
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v t = 3 = 29.4

m s

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iii) De acuerdo con la Cinemática, la velocidad en caída libre se determina mediante la fórmula: v = gt por lo que cuando t = 3 s se obtiene: m v =...