Bachiller

Clasificación y propiedades de los números reales  

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Clasificación y propiedades de los números reales
Comencemos  por  enumerar  los  diferentes  tipos  de  números  que  forman  el  sistema  de  los  números  reales.  Empecemos con los números naturales:  1, 2, 3, 4, …  Los enteros son los números naturales, junto con los negativos y el cero:  …, ‐3, ‐2, ‐1, 0, 1, 2, 3, … Los números racionales se construyen mediante razones entre números enteros. Cualquier número racional r  se puede expresar como: 

             donde m y n son enteros y 

0 

Recuerde que la división entre 0 no es válida en ningún caso, por lo que las expresiones como  y  son inde‐ finidas. También existen números reales, como √2, que no se expresan como una razón entre números ente‐ros, por lo tanto, se conocen como números irracionales.   El conjunto de todos los números reales se denota mediante el símbolo  . Cuando utilizamos la palabra nú‐ mero sin adjetivo, queremos decir “número real”. La siguiente figura muestra un diagrama de los diferentes  números reales que se verán durante el curso. 

Números  Reales

Números  irracionales Números  racionales

Enteros  positivos CeroEnteros  negativos

   

 



  Matemáticas 2 

Clasificación y propiedades de los números reales  

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Propiedades de los números reales
Al combinar los números reales utilizando las operaciones familiares de suma y multiplicación, utilizamos las  siguientes propiedades de los números reales.  Propiedad  Ejemplo  7 3 3 5 ⋅ 3  4 7 2 4 7 7  Nombre y Descripción Propiedad conmutativa de la suma Cuando  sumamos  dos  números,  el  orden no tiene importancia.  Propiedad conmutativa de la suma Cuando  multiplicamos  dos  números,  el  orden no importa.  Propiedad asociativa de la suma  Cuando  sumamos  tres  números,  no  importa cuáles dos sumamos primero.  Propiedad  asociativa  de  la  multiplica‐ ción:  Cuando  multiplicamos  3  números,  no  importa  cuáles  dos multiplicamos  pri‐ mero.  Propiedad Distributiva  Cuando  multiplicamos  un  número  por  la  suma  de  otros  dos  números,  obte‐ nemos  el  mismo  resultado  si  multipli‐ camos  el  número  por  cada  uno  de  los  términos y a continuación sumamos los  resultados 

       

3⋅5 2

 

3⋅7 ⋅5

3⋅ 7⋅5

 

   

 

2⋅ 3 5 3 5 ⋅2

2⋅3 2⋅3

2 ⋅ 5  2 ⋅ 5 Por la experiencia acumulada por ustedes y sus clases de preparatoria, saben intuitivamente que estas pro‐ piedades  son  verdaderas.  Para  revisar  éstas, calcule las  expresiones  a  ambos  lados  del  signo  igual   en  cada  uno de los ejemplos de la tabla. Las operaciones en los paréntesis deben efectuarse primero. La propiedad distributiva es muy importante en álgebra, ya que describe la forma en que la suma y la multi‐ plicación se relacionan entre sí. Es aplicable siempre que multipliquemos un número por una suma.  

Ejemplo 1. Uso de las propiedades de los números reales
, , y  números reales  2zw a) b)       = =   2zw        propiedad conmutativa de la multiplicación  propiedad distributiva  propiedad distributiva  propiedad asociativa de la suma 
 En el último paso eliminamos los paréntesis porque, de acuerdo con la propiedad asociativa, como se agrupen  los sumandos no importa.  El número 0 es especial en el caso de la suma; se conoce como neutro aditivo, porque  0  para cual‐ 0.  La  quier  número  real .  Todo  número  real tiene  un  negativo, ,que  satisface  la  ecuación  resta (o sustracción) es la operación inversa de la suma; para restar un número de otro, simplemente suma‐mos el negativo de dicho número. Por definición:    Matemáticas 2 

Clasificación y propiedades de los números reales    
No cometa el error de suponer que es un número nega‐ tivo. Si –  es negativo o positivo dependerá del valor de  .  Por ejemplo, si  5 entonces  5, un número  negativo; pero si  5 entonces  5 5  (propiedad 2) es un número positivo. 

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