BAD CS 5 07 1

PROGRESIONES
GEOMÉTRICAS

DÍA 07 * 1º BAD CS

Sucesiones de números reales
•

SUCESIÓN es el conjunto de números ordenados mediante una
regla o ley de formación.

•
•
•

Cada uno de los númerosordenados se llama término.

•

Las sucesiones más importantes son las progresiones aritméticas y
las progresiones geométricas.

•

Los intereses bancarios, las anualidades de capitalización o lasmensualidades de amortización de préstamos son progresiones,
bien aritméticas o bien, la mayoría, geométricas.

El término general o genérico nos señala la ley de formación.

Progresiones geométricas
• Esuna sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior
multiplicado por una constante, r , llamada RAZÓN .
•
•
•
•
•
•
•
•

an = a1 , a2 , a3 , a4 , …, ak , …, an-1 , an
Deducimos la fórmulaprincipal:
a1 = a1
a2 = a 1 . r
a3 = a 2 . r = a 1 . r2
a4 = a 3 . r = a 1 . r3
………………
an = an-1 . r = a1 . rn - 1

• Fórmula:

an = a 1 . rn - 1

• Y de ella despejamos a1 , n o d en caso necesario.Suma de términos en P.G.
•
•
•

Demostramos la fórmula de la suma:

S = a1 + a2 + a3 + a4 , …, + ak , …, + an-1 , + an

•

Si multiplico todo por la razón r, queda :

•

S.r = a1. r + a2.r + a3.r + ,…, an-1 ,.r + an.r

•

Restando una de otra expresión :

•

S  S.r = a1  an . r

•
•
•

S.(1  r ) = a1

a1 – an..r
 an . r  S = -------------1-r

EJEMPLO_1
•
•

En una PG el primer término vale5 y la razón 2.
Hallar el término séptimo y el término duodécimo.

•
•
•
•

Tenemos:

•
•
•
•
•
•
•

De donde:

•
•
•

La PG sería:
{a } = 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …
n

n-1
a

= a .r
n
1

7-1
6
a= a .2
= 5 . 2 = 5 . 64 = 320
7
1
12-1
11
a = a .2
= 5.2
12
1

•

EJEMPLO_2

•
•

En una PG el primer término vale 5 y el quinto vale 125.
Hallar la razón.

•
•
•
•

Tenemos:

•
•
•
•
•
•

Dedonde:

•
•

{a } = 5, 5 √ 5, 25, 25 √ 5 , 125, …
n

n-1
a

= a .r
n
1

5-1
a = a .r
,,
5
1

4
125 = 5 . r

4
,,

La PG sería:

25 = r

4
,, r = √ 25 = √ 5

•

EJEMPLO_3

•
•

En una PG el noveno término...