Base Y Dimensión Para Explicar

Base y Dimensión
 
Definición:  Un conjunto de vectores {v1, v2, v3, …, vn} forma una base para V si :
{v1, v2, v3, …, vn} son linealmente independientes
{v1, v2, v3, …, vn} genera a V
 
Ejemplos(para discusión):
 
1)
Sean  e1 = (1, 0)  y  e2 = (0, 1) vectores en R2.  Entonces forman una base para R2.
 
2)
Existe un teorema que señala que cualquier conjunto de n vectores linealmenteindependientes en Rn genera a Rn.  Por tanto, todo conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn forma una base en Rn,  En Rn se define: e1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), e3 = (0, 0, 1 ,0, …, 0), …, en = (0, 0, 0, …, 0, 1).  A esta base se le llama la base “estándar” o “usual” de Rn.
 
3)
Los vectores (2, 0, 0), (0, 3, 0) y (0, 0, 5) generan a R3 y son linealmenteindependientes.  Luego forman una base para R3.
 
4)
Sean (0, 1) y (1, 1) elementos de R2.  Estos vectores son linealmente independientes y generan a R2.  Por tanto, forman una basa en R2.
 
5)
Los vectores (1, 0, 0) y (0,1, 0) no forman una base en R3.  Podemos encontrar a vectores en R3 que no se pueden expresar como combinación lineal de estos dos.  Por ejemplo, el vector (0, 0, 1) elemento de R3 no puedeexpresarse como combinación lineal de ellos dos:
(0, 0, 1) = a(1, 0, 0) + b (0, 1, 0)
             = (a, 0, 0) + (0, b, 0)
             = (a, b, 0) Lo cual implica que 1 = 0 y eso no es cierto.
 
6)
Lospolinomios 1, x, x2, x3 son linealmente independientes en P3.  Estos polinomios también generan l espacio vectorial P3.  Por tanto, {1, x, x2, x3} es una base para P3.  En general, {1, x, x2, x3, …, xn}constituye una base para Pn.  A esta base se le conoce como la base usual de Pn.
 
7)
El conjunto de matrices generan a M22.  Si tenemos que:  vemos que
c1 = c2 = c3 = c4 = 0.  Por tanto, estas matricesson linealmente independientes. Así que este conjunto de matrices forman la base usual para M22.
 
Teorema: Si {v1, v2, v3,…, vn} es una base de V y si v є V, entonces existe un conjunto único de...