Espacios base dimension

Tema 2: Espacios Vectoriales Base y Dimensi´n de un espacio (subespacio) vectorial o ´ Algebra Lineal Curso 2004-2005
Prof. Manu Vega

1.

Base y dimensi´n de un espacio (subespacio) vectorial oSe dice que un conjunto de vectores D = {¯1 , u2 , ..., un } forman una base del espacio vectorial u ¯ ¯

V si los vectores de {D} pueden generar todo el espacio vectorial V y si dichos vectoresson linealmente independientes. La dimensi´n del espacio vectorial V es igual al n´mero de vectores o u que constituyen su base. De la misma manera, se dice que un conjunto de vectores E = {¯1 , v2,..., vn } forman una v ¯ ¯ base del subespacio vectorial S si los vectores de {E} pueden generar todo el subespacio vectorial S y si dichos vectores son linealmente independientes. La dimensi´n delsubespacio vectorial S o es igual al n´mero de vectores que constituyen su base, y se denomina cardinal de V (cardV ), u al n´mero de vectores de la base. u Nota Un conjunto D = {¯1 , u2 , ..., un } esuna base de V si todo vector de V puede escribirse de u ¯ ¯ forma unica como combinaci´n lineal de los vectores de D. Se dice que un espacio vectorial V ´ o es de dimensi´n finita n o n-dimensional si odim V = n ∈ N

1.1.
1.

Propiedades
Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita. Entonces todas las bases de V tienen el o mismo n´mero de elementos. El espacio vectorial {0} tiene dimensi´n 0por definici´n. u o o Cuando un espacio vectorial no es de dimensi´n finita, se dice que es de dimensi´n infinita. o o

2.

Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita n, cualquier conjunto de n+1o m´s vectores o a son linealmente dependientes.

1

Corolario a la propiedad: (i) Todo conjunto de vectores linealmente independiente de n elementos es base de V . (ii) Todo conjunto devectores de n elementos que sea sistema generador es base de V . (iii) Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita n, entonces cualquier conjunto que resulte o de eliminar un vector de una base de V es...