Bases Y Dimensiones

Base
Un conjunto finito de vectores S = {v1 ,K, vm } recibe el nombre de base de un espacio vectorial V si el conjunto S genera V y es linealmente independiente. Una base es un conjunto eficiente para representar un espacio vectorial, en el sentido de que cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base; además los vectores de la base son independientesunos de otros. El conjunto de n vectores S = {(1,0,K,0), (0,1,K,0),K, (0,0,K,1)} Es una base para R n . Esta base recibe el nombre de base canónica para R n . Dado que cualquier vector V = (v1 , v2 ,K, vn ) en R n se puede expresar como

V = v1 (1,0,K,0) + v2 (0,1,K,0) + L + vn (0,0,K,1) S genera a V y por consecuencia, S es una base de V

Una base canónica para R3 sería el conjunto S = {(1,0,0), (0,1,0 ), (0,0,1)} ya que cualquier vector V = (v1 , v 2 , v3 ) se puede expresar como V = v1 (1,0,0) + v 2 (0,1,0) + v n (0,0,1) , donde S genera a V y por consecuencia S es una base de V. (1,2,1) = (1,0,0) + 2(0,1,0) + (0,0,1) Ejemplo Demuestre que el conjunto {(1,0,−1), (1,1,1), (1,2,4)} es una base para R 3 . Solución Primero se demuestra que el conjunto genera R 3 . Sea ( x1 , x2 , x3 )un elemento cualquiera de

R3 .

(x1 , x2 , x3 ) = c1 (1,0,−1) + c2 (1,1,1) + c3 (1,2,4)
c2 + 2c3 = x2

Esta identidad lleva al sistema de ecuaciones c1 + c2 + c3 = x1

− c1 + c2 + 4c3 = x3 Este sistema de ecuaciones tiene la solución c1 = 2 x1 − 3x2 + x3 , c2 = −2 x1 + 5 x2 − 2 x3 , c3 = x1 − 2 x2 + x3 Así, el conjunto genera el espacio.
Otro método El sistema de ecuaciones tiene laforma A c = x por lo que la solución para c = A −1 x

ALGEBRA LINEAL



⎡ c1 ⎤ ⎡ 2 − 3 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 1 1⎤ ⎡ 2 −3 1 ⎤ ⎢c ⎥ = ⎢ − 2 5 − 2⎥ ⎢ x ⎥ Si A = ⎢ 0 1 2⎥ entonces A −1 = ⎢− 2 5 − 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ c3 ⎥ ⎢ 1 − 2 1 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ − 1 1 4⎥ ⎢ 1 −2 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Ahora se demuestra que el conjunto es linealmente independiente.

b1 (1,0,−1) + b2 (1,1,1) + b3 (1,2,4) = (0,0,0)
Estaidentidad da como resultado el siguiente sistema de ecuaciones. b1 + b2 + b3 = 0

b2 + 2b3 = 0
− b1 + b2 + 4b3 = 0
Este sistema tiene una solución única b1 = 0, b2 = 0, b3 = 0 . Por lo tanto, el conjunto es linealmente independiente. El conjunto {(1,0,−1), (1,1,1), (1,2,4)} es una base R 3 . Ya que este genera a R 3 y es linealmente independiente. Del sistema de ecuaciones obtenemos la matrizde coeficientes ⎡ 1 1 1⎤ det ⎢ 0 1 2⎥ = 1 por lo que el sistema de ecuaciones es linealmente independiente. ⎢ ⎥ ⎢ − 1 1 4⎥ ⎣ ⎦

Ejemplo Sea v1 = (1,2,1), v2 = (2,9,0) y v3 = (3,3,4) . Demuestre que el conjunto S = {v1 , v2 , v3 } es una base de R 3 . Solución Para demostrar que S genera a R 3 , se debe mostrar que un vector arbitrario X = ( x1 , x 2 , x3 ) se puede expresar como una combinaciónlineal de los vectores S

X = ( x1 , x 2 , x3 ) = c1v1 + c 2 v 2 + c3 v3

(x1 , x2 , x3 ) = (c1 + 2c2 + 3c3 ,2c1 + 9c2 + 3c3 , c1 + 4c3 )
c1 + 2c 2 + 3c3 = x1
2c1 + 9c 2 + 3c3 = x 2

c1 + 4c3 = x3

ALGEBRA LINEAL

Para mostrar que S genera a V , es necesario demostrar que el sistema de ecuaciones tiene una solución para cualquier selección de X = ( x1 , x 2 , x3 ) Este sistema deecuaciones tiene la solución ⎡1 2 3 ⎤ ⎡ c1 ⎤ ⎡ 2 − 3 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡− 36 8 21 ⎤ ⎢2 9 3⎥, A −1 = ⎢ 5 ⎢c ⎥ = ⎢ − 2 5 − 2⎥ ⎢ x ⎥ ⎥ − 1 − 3⎥ A=⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢1 0 4 ⎥ ⎢ c3 ⎥ ⎢ 1 − 2 1 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 9 − 2 − 5⎥ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

c1 = 2 x1 − 3x 2 + x3 , c 2 = −2 x1 + 5 x 2 − 2 x3 , c3 = x1 − 2 x 2 + x3
Así, el conjunto genera el espacio. Para demostrar que S es linealmente independiente, se debe mostrarque la única solución de c1v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0 es c1 = c2 = c3 = 0 la independencia lineal se reduce a mostrar que la matriz de coeficientes del sistema ecuaciones sea no singular.
1 2 3 ⎡1 2 3 ⎤ ⎢2 9 3⎥, det ( A) = 2 9 3 = −1 , A es invertible y por lo tanto S es linealmente A=⎢ ⎥ ⎢1 0 4 ⎥ 1 0 4 ⎦ ⎣ independiente y es una base de R 3 .

(x1 , x2 , x3 ) = c1 (1,2,1) + c2 (2,9,0) + c3...